18. Распределение Ферми-Дирака

Чтобы получить распределение Ферми-Дирака надо посчитать термодинамический потенциал :

- одночастичная большая статистическая сумма.

И с помощью посчитаем число состояний с учетом свойств Ферми-частиц.

Напомним, что:

здесь отсутствует взаимодействие между частицами, но имеет место обменное взаимодействие, т.е. за счёт спина (влияние сорта частиц на результат)

Для Ферми-частиц либо 1.

Рассчитаем для Ферми-газа:

где .

Мы получили распределение Ферми-Дирака. Это среднее число Ферми частиц в -том состоянии.

Придадим другой смысл. По определению:

Таким образом, это вероятность обнаружить одну Ферми частицу в -том состоянии:

19. Распределение Бозе-Эйнштейна

Используем формулы:

, но здесь

Записав через получим:

Условие сходимости ряда:

равенство нулю реализуется для систем с не сохраняющимся числом частиц, например, для фотонного газа или аннигилирующих частиц.

Получим:

С помощью найдём среднее число частиц в-том состоянии:

И мы получили распределение Бозе-Эйнштейна.

Теперь можно объединить все три распределения в одну формулу и записать:

Мы получили выражение для числа частиц в зависимости от сорта частиц, т.е. от спина частиц.

Очевидно, что если выполняется критерий больцмановского распределения:

то все распределения переходят в больцмановское распределение:

Ограничения на химический потенциал:

- для Бозе-Эйнштейна

и- для Больцмана

- произвольный для Ферми-Дирака

20. Расчёт импульса Ферми для электронного газа при T=0

Будем пользоваться формулой:

Запишем функцию Ферми для электронного газа:

- он здесь как функция энергии

И рассматривается случай, когда очень близко к 0,:

, у нас

При малых показатель экспоненты отрицательный слева оти положительный справа от.

, при

Тогда

Поэтому:

Видим, что имеет вид ступеньки: слева все уровни заселены, а справа все уровни свободны.

Химический потенциал определяется числом частиц в системе.

Можно писать

где - число частиц, а- функция Ферми-Дирака, приона имеет вид ступеньки.

Запишем явный вид :

это выражение получается из выражения кинетической энергии электрона с импульсом :

,

Тогда всё сводится к интегрированию в - пространстве или в Фурье-пространстве. Размерность.

Пределы интегрирования в -пространстве:

Это шар с радиусом, который определяется . Радиус этого шара часто называют, т.е.-фермиевским.

определяется из, т.е. из числа частиц (электронов) в системе.

Полагаем объём и найдём полное число частиц в системе:

здесь из под интеграла убрали , т.к. в этом пределе интегрирования, а вне этого пределаи интеграл тоже равен нулю.

И тогда получаем:

Импульс Ферми:

Найдём :

т.е. химический потенциал или уровень Ферми определяется концентрацией частиц.