Лекция 9

Глава 4. Некоторые предельные теоремы

§ 1. Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема сыграла особую роль в развитии теории вероятностей. Она имеет большое значение и для современных приложений. Центральная предельная теорема определяет условия, при которых суммы независимых случайных величин распределены асимптотически нормально.

Tеорема 1. Пусть X1, X2,…, Xn - взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения F(x). Допустим,

что М(Xk) = 0, D(Xk) = 1, k = 1, 2,..., n. При n → ∞ распределение

нормированных сумм Sn = x1 + x2 +... + xn стремится к стандартному

n

нормальному распределению.

Доказательство. Используем метод характеристических функций.

Характеристической функцией ϕ(t) распределения F(x) (или случайной величины X) называется математическое ожидание случайной величины eitX ϕ(t) = MeitX , −∞ < t < ∞, i - мнимаяединица.

Замечание. Мы вводили случайные величины как действительные функции, заданные на пространстве Ω. В данном случае под случайной величиной будем понимать пару действительных функций

eitX = costX +i sin tX = (costx; sin tx).

Если X имеет плотность f(x), то

∞∞

ϕ(t) = ∫ eitx f (x)dx = ∫eitxdF(x) .

−∞ −∞

Например, характеристическая функция стандартного нормального распределения

Если X - дискретная случайная величина,

∞

ϕ(t) = ∑eitxi P(X = xi ) ,

i=−∞

где xi - значение случайной величины X.

Замечание. Характеристическая функция распределения F(x) - это ни что иное как преобразование Лебега-Фурье функции F(x). Если X - непрерывная случайная величина, то характеристическая функция - это просто преобразование Фурье плотности распределения.

Докажем сначала, что характеристические функции распределения сумм Sn при n → ∞ и всех t cходятся к характеристической функции стандартного нормального распределения. Характеристическая функция суммы Sn

поскольку математическое ожидание произведения независимых случайных величин равняется произведению их математических ожиданий, и все случайные величины X1,X2,…,Xn имеют одно и то же распределение, а значит, и одну и ту же характеристическую функцию

ϕ(t) .

По формуле Тейлора

ϕ(x) = ϕ(0) + x ϕ′(0) + x2 ϕ''(0) + 0 (x2 ). 2

Докажем, что из сходимости характеристических функций следует сходимость функций распределения.

Из курса математического анализа известна теорема непрерывности: если F1(x), F2(x),..., Fn(x) - последовательность функций, ограниченных на всей числовой прямой, а ϕ1(t), ϕ2 (t),..., ϕn (t),... -

последовательность соответствующих преобразований Лебега-Фурье, сходящаяся к функции ϕ0 (t) , то ϕ0 (t) также является преобразованием

Лебега-Фурье некоторой функции F0(x), а F0(x) является пределом функциональной последовательности F1(x), F2(x),..., Fn(x),... . Теорема непрерывности завершает доказательство центральной предельной теоремы. ♣

Центральная предельна теорема позволяет понять природу случайных величин, имеющих нормальное распределение.

Пример 1. Рассмотрим распространение популяции деревьев. Если бы новые растения возникали только из семян, упавших с материнского дерева, то сеянцы были бы расположены около него. Тогда расстояние дерева n-го поколения от исходного было бы распределено приблизительно нормально. При этих условиях площадь, покрытая потомками некоторого дерева, была бы пропорциональна его возрасту. ♦

Замечание 1. Если в условии теоремы 1 М(Xk) = m, D(Xk) = σ2, то распределение сумм

Теорема Муавра-Лапласа. Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью p и не произойти с вероятностью q = 1 – p, то справедливо соотношение

P α < Y − np < β ≈ Φ(β) − Φ(α) ,

npq

где Y - число наступлений события А в n опытах; Ф(x) - функция распределения стандартного нормального закона; α, β - действительные числа.

Доказательство. Пусть Xi - число наступлений события А в i-м

опыте, i = 1, 2,..., n,

Пример 3. Монету подбрасывают 200 раз. Какова вероятность, что число выпадений герба отличается от 100 не более чем на 5?