Пример выполнения

Пусть две последних цифры зачетной книжки N=82.

Будем считать, что между фактором (сумма расходов на продвижение товара) и результативной переменной (размер полученной прибыли) существует линейная зависимость. В таком случае имеем простейшую эконометрическую модель, а именно линейную однофакторную модель (модель парной регрессии) общего вида (см. § 1.3):

,

где и – неизвестные параметры модели (коэффициенты, которые нам нужно рассчитать или оценить).

Рассчитывать (оценивать) параметры нашей модели будем при помощи метода наименьших квадратов (см. § 2.1).

С этой целью выполним следующие шаги.

1. Все данные с таблицы 1.1 увеличиваем на 8,2 (82/10). Результаты заносим в программу Microsoft Excel. Получим следующую таблицу.

Таблица 1.2

№ п/п
1	56,2	1598,2
2	63,2	1768,2
3	69,2	1983,2
4	75,2	2213,2
5	86,2	2468,2
6	96,2	2733,2
7	99,2	3043,2
8	122,2	3328,2
9	130,2	3493,2
10	155,2	3583,2
11	171,2	3793,2
12	208,2	4033,2
13	248,2	4158,2
14	283,2	4283,2
15	308,2	4548,2
16	338,2	4738,2

2. Находим столбцы значений и , а также суммы по всем столбцам (для этого пользуемся функцией Excel СУММ либо значком автосуммы Σ). Получим следующую таблицу.

Таблица 1.3

№ п/п
1	56,2	1598,2	3158,44	89818,84
2	63,2	1768,2	3994,24	111750,24
3	69,2	1983,2	4788,64	137237,44
4	75,2	2213,2	5655,04	166432,64
5	86,2	2468,2	7430,44	212758,84
6	96,2	2733,2	9254,44	262933,84
7	99,2	3043,2	9840,64	301885,44
8	122,2	3328,2	14932,84	406706,04
9	130,2	3493,2	16952,04	454814,64
10	155,2	3583,2	24087,04	556112,64
11	171,2	3793,2	29309,44	649395,84
12	208,2	4033,2	43347,24	839712,24
13	248,2	4158,2	61603,24	1032065,24
14	283,2	4283,2	80202,24	1213002,24
15	308,2	4548,2	94987,24	1401755,24
16	338,2	4738,2	114379,24	1602459,24
Сума	2510,2	51766,2	523922,44	9438840,64

2. Полученные значения сумм подставляем в систему нормальных уравнений, которая поможет нам найти неизвестные коэффициенты и .

В нашем случае:

3. Решаем систему уравнений одним из общеизвестных методов (методом Крамера, методом Гаусса либо матричным методом).

Примечание. Все вычисления рекомендуется выполнять строго в программе Microsoft Excel, что позволит уменьшить количество округлений и технических ошибок!

Например, согласно методу Гаусса разделим первое уравнение на 16, а второе – на 2510,2.

Получим следующую систему:

.

Далее отнимем от второго уравнения первое (можно и наоборот – от первого уравнения второе, на итоговой результат это не повлияет).

Неизвестный параметр b сокращается, получим:

;

.

Таким образом, первый неизвестный параметр мы нашли: .

Для того, чтобы найти второй параметр нужно подставить уже известное нам значение коэффициента a в любое из уравнений предыдущей системы, например в первое. Получим:

.

Таким образом, и второй неизвестный параметр мы тоже нашли: .

4. Записываем уравнение модели, подставив найденные значения параметров a и b в линейную форму .

Аналитическая форма однофакторной эконометрической модели будет иметь следующий вид:

.

Данная модель показывает зависимость между фактором (х, сумма расходов на продвижение товара) и результативной переменной (у, размер полученной прибыли)

5. Находим колонку значений (используем формулу и значения фактора х со второй колонки) и добавляем её к таблице 1.3. Получим следующую таблицу.

Таблица 1.4

№ п/п
1	2	3	4	5	6
1	56,2	1598,2	3158,44	89818,84	2215,93
2	63,2	1768,2	3994,24	111750,24	2286,80
3	69,2	1983,2	4788,64	137237,44	2347,55
4	75,2	2213,2	5655,04	166432,64	2408,30
5	86,2	2468,2	7430,44	212758,84	2519,68
6	96,2	2733,2	9254,44	262933,84	2620,93
7	99,2	3043,2	9840,64	301885,44	2651,30
8	122,2	3328,2	14932,84	406706,04	2884,18
9	130,2	3493,2	16952,04	454814,64	2965,18
10	155,2	3583,2	24087,04	556112,64	3218,30
11	171,2	3793,2	29309,44	649395,84	3380,30
12	208,2	4033,2	43347,24	839712,24	3754,93
13	248,2	4158,2	61603,24	1032065,24	4159,93
14	283,2	4283,2	80202,24	1213002,24	4514,30
15	308,2	4548,2	94987,24	1401755,24	4767,43
16	338,2	4738,2	114379,24	1602459,24	5071,18
Сума	2510,2	51766,2	523922,44	9438840,64	51766,21

6. Чтобы получить графическую интерпретацию модели, построим в системе координат x0y прямую, которая соответствует полученному уравнению модели. Это будут теоретические (расчетные, модельные) значения зависимой переменной .

Нанесем также на той же координатной плоскости точки, которые соответствуют исходным, т.е. фактическим данным переменной y.

С этой целью используем Мастер диаграмм Microsoft Excel (пункт меню Вставка→Диаграмма либо пиктограмма ):

• Выбираем тип диаграммы – точечная, вид можно оставить по умолчанию, т.е. первый.

• Нажимаем на кнопку "Далее", переключаемся на вкладку "Ряд" (вкладки расположены вверху окна).

• В случае, если в поля "Ряд" мастером уже занесены какие-либо данные –очищаем их нажимая на кнопку "Удалить" до тех пор пока она станет неактивной.

• Нажимаем на кнопку "Добавить" чтобы создать первый ряд данных.

• В поле "Имя:" вводим с клавиатуры текст фактические значения.

• В поле "Значения Х:" указываем столбец со значениями х со второй колонки таблицы 1.4 (выделяем диапазон значений мышкой, номер колонки и значение суммы в диапазон не входит!).

• В поле "Значения Y:" указываем столбец со значениями y с третьей колонки таблицы 1.4 (выделяем диапазон значений мышкой, номер колонки и значение суммы в диапазон не входит!).

• Нажимаем на кнопку "Добавить" чтобы создать второй ряд данных.

• В поле "Имя:" вводим с клавиатуры текст модельные значения.

• В поле "Значения Х:" указываем столбец со значениями х со второй колонки таблицы 1.4 (выделяем диапазон значений мышкой, номер колонки и значение суммы в диапазон не входит!).

• В поле "Значения Y:" указываем столбец со значениями с шестой колонки таблицы 1.4 (выделяем диапазон значений мышкой, номер колонки и значение суммы в диапазон не входит!).

• Нажимаем на кнопку "Далее", вводим с клавиатуры названия для осей Х (затраты на продвижение товара, тыс. дол. США) и Y (размер полученной прибыли, тыс. дол. США).

• Нажимаем на кнопку "Далее", потом на кнопку "Готово".

• Форматируем график: нажимаем мишкой на ряд данных с модельными значениями, заходим в меню Формат → Выделенный ряд, в появившемся окне в поле "Линия" ставим переключатель в положение "обычная", а в поле "Маркер" – в положение "отсутствует".

• Меняем цвета рядов данных, шрифты, заливку области построения, внешний вид линий сетки и осей по собственному усмотрению.

Результат представлен на рисунке ниже.

Как видно с рисунка теоретическая линия в целом достаточно хорошо отражает основные тенденции взаимосвязи между переменными х и у.

7. Находим столбец отклонений и добавляем его в таблицу.

Таблица 1.5

№ п/п
1	2	3	4	5	6	7
1	56,2	1598,2	3158,44	89818,84	2215,93	-617,73
2	63,2	1768,2	3994,24	111750,24	2286,80	-518,6
3	69,2	1983,2	4788,64	137237,44	2347,55	-364,35
4	75,2	2213,2	5655,04	166432,64	2408,30	-195,1
5	86,2	2468,2	7430,44	212758,84	2519,68	-51,48
6	96,2	2733,2	9254,44	262933,84	2620,93	112,27
7	99,2	3043,2	9840,64	301885,44	2651,30	391,9
8	122,2	3328,2	14932,84	406706,04	2884,18	444,02
9	130,2	3493,2	16952,04	454814,64	2965,18	528,02
10	155,2	3583,2	24087,04	556112,64	3218,30	364,9
11	171,2	3793,2	29309,44	649395,84	3380,30	412,9
12	208,2	4033,2	43347,24	839712,24	3754,93	278,27
13	248,2	4158,2	61603,24	1032065,24	4159,93	-1,73
14	283,2	4283,2	80202,24	1213002,24	4514,30	-231,1
15	308,2	4548,2	94987,24	1401755,24	4767,43	-219,23
16	338,2	4738,2	114379,24	1602459,24	5071,18	-332,98
Сума	2510,2	51766,2	523922,44	9438840,64	51766,21	-0,02

Примечание. Значение суммы по столбцу должно быть как можно ближе к нулю и свидетельствует о правильности выполненных расчетов. По умолчанию программа Microsoft Excel очень маленькие числа записывает в экспоненциальном формате.

Например, запись -8,37E-12 в обычном формате (–0,00000000000837) будет занимать очень много места, поэтому можно оставить это число в экспоненциальной форме. В тоже время запись 4,368E-05 уже не такая длинная, поэтому её формат можно изменить на обычный (0,00004368).

Замена формата числа производится через пункт меню Формат → Ячейки во вкладке "Число". Предварительно требуемая ячейка (диапазон ячеек) должна быть выделена мышкой.

8. Находим дисперсии отклонений и результативного признака. При этом пользуемся функцией ДИСП категории "Статистические".

Дисперсия результативного признака рассчитывается по третьей колонке таблицы 1.5 (выделяем диапазон значений мышкой, номер колонки и значение суммы в диапазон не входит!) и в нашем случае равна .

Дисперсия отклонений рассчитывается по седьмой колонке таблицы 1.5 (выделяем диапазон значений мышкой, номер колонки и значение суммы в диапазон не входит!) и в нашем случае равна .

9. Рассчитываем коэффициент детерминации за формулой:

.

В нашем случае:

.

Полученное значение коэффициента детерминации является достаточно большим и характеризует правильность подбора линейной функции для построения эконометрической модели.

В 86,6% случаев изменения х приводят к изменению y. Остальные 13,4% изменения y объясняются факторами, неучтенными в модели.

10. Находим множественный коэффициент корреляции как квадратный корень с коэффициента детерминации. Для этого используем функцию КОРЕНЬ категории "Математические".

В нашем случае, поскольку модель однофакторная, то множественный коэффициент корреляции совпадает с обычным линейным коэффициентом корреляции, который равен или 93,1%.

На основании шкалы Чеддока можно сделать вывод, что связь между х (затраты на продвижение товара) и у (размер полученной прибыли) является очень высокой.