Вопросы к заданию 14

1. Почему метод Симпсона также называют методом парабол?

2. Каким требованиям должно удовлетворять количество интервалов на всем отрезке интегрирования?

3. Какое практическое правило используется для оценки погрешности инте-грирования по методу Симпсона?

4. По результатам сравнения докажите, что метод Симпсона точнее других изученных методов интегрирования. Объясните причину.

ЗАДАНИЕ 15. МЕТОД ЭЙЛЕРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

15-1. Используя метод Эйлера, найти численное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию. Ограничиться отысканием первых четырех значенийс шагом. Оценить абсолютную погрешность для каждой узловой точки методом двойного пересчета.

15-2. Используя метод Эйлера, найти численное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию. Ограничиться отысканием первых четырех значенийс шагом. Добиться точности не ниже 0,01, используя метод двойного пересчета (деления шага пополам).

Таблица исходных данных приведена ниже.

Вариант	Уравнение
1		0	0,8
2		1,8	2
3		0	1,2
4		0	2
5		1,6	2
6		0	-1
7		-1	0,5
8		-2	0
9		1	3
10		2	0
11		2	0
12		1	0
13		1	-1
14		1,5	3
15		0	0
16		0,4	0,8
17		0,8	1,4
18		0	0,4
19		1,6	4,6
20		1,2	2,4
21		0,5	7
22		0,9	1,7
23		1,7	5,3
24		1,3	2,8
25		0,7	2,1
26		2,5	4
27		1	0,5
28		0,1	0,8
29		1	2,5
30		0,5	2,5
31		0,8	1,3
32		1,1	1,5
33		0	1
34		1,2	2,1
35		1,8	2,6

Указания к выполнению работы.

Расчетная таблица Excel имеет следующий вид.

i

В таблице i - номер точки (для начального условия i = 0); - точка на интервале решения задачи Коши;- правая часть дифференциального уравнения;- решение задачи Коши в узловой точке.

В задании 15-1 при заданном шаге h вычисляются требуемое число значений и. Для оценки погрешности шаг уменьшают вдвое и определяют значениев той же точке. Разность значений, вычисленных для различных шагов, даст оценку абсолютной погрешности для каждой узловой точки.

В задании 15-2 при заданном шаге h вычисляются требуемое число значений и. Затем необходимо уменьшать шаг вдвое и определять погрешность до тех пор, пока в узловых точках значениене достигнет требуемой точности.

Вопросы к заданию 15

1. Сформулируйте задачу Коши.

2. Что является решением задачи Коши? Что называется интегральной кривой?

3. Какие инженерные задачи по избранной специальности могут быть сведены к задаче Коши?

4. Приведите геометрическую интерпретацию метода Эйлера.

5. Для чего производится двойной пересчет? Как при этом изменяется величина шага?

ЗАДАНИЕ 16. МЕТОД РУНГЕ - КУТТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

16-1. Используя метод Рунге – Кутта, найти численное решение диффе-

ренциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию. Ограничиться отысканием первых трех значенийс шагом. Оценить погрешность для каждой узловой точки методом двойного пересчета.

16-2. Используя метод Рунге - Кутта, найти численное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию. Ограничиться отысканием первых четырех значенийс шагом. Добиться абсолютной точности не ниже 0,005, используя метод двойного пересчета (деления шага пополам).

Указания к выполнению работы.

Общий порядок расчета тот же, что и для метода Эйлера, однако расчетная таблица будет включать расчет четырех угловых коэффициентов. Она содержит следующие столбцы.

i

Здесь i - номер точки; - значение узловой точки;,,,- значения коэффициентов;- решение в узловой точке. Решение определяется по формуле:=, где на каждом шаге:

,

,

,

.