Вдавливание цилиндрического штампа с плоским основанием
|
При вдавливании жесткого цилиндрического штампа расчетная схема будет иметь вид, представленный рис.25. Рассмотрим вдавливание жесткого цилиндрического штампа в упругое полупространство с силой Р, действующей по оси симметрии z. Это позволит рассматривать эту задачу в цилиндрической системе координат. В этом случае давление по кругу распределится по следующему закону: |
Рис.25 Расчетная схема при вдавливании жесткого штампа |
,
а при r = 0:
,
а если r = а, то Р .
|
Рис.26 |
Это говорит о том, что давление по площади распределяется неравномерно, с максимальное величиной его на контуре контакта. Графически эта картина выглядит следующим образом (рис.26). На основании изложенного можно сделать вывод, что наиболее опасной зоной является контур давления, где деформации идут независимо; хотя и одновременно с общим деформированием всего объема тела под основанием |
цилиндра,т. к. давление по контуру много выше, чем под остальной плоскостью вдавливания, то и касательные напряжения, возникающие в глубине тела по контуру давления, достигают предельных значений много раньше, чем на оси симметрии.
Экспериментами установлено, что такое неравномерное распределение давления по плоскости контакта наблюдается только в первоначальный момент вдавливания. При дальнейшем вдавливании давление по площади можно принять равномерно распределенным. В этом случае давление в любой точке круга можно определить по формуле:
.
В первоначальный момент, когда имеет место неравномерное распределение давления перемещение штампа в полупространство можно определить по формуле:
,
а при равномерном распределении давления величина может быть определена по формуле:
,
где - коэффициент Пуассона,
Е - модуль Юнга.
Для правильной оценки поведения горной породы под цилиндрическим штампом необходимо рассмотреть картину напряженного
|
состояния горной породы вглубь, ниже поверхности контакта. Различаются три области напряженного состояния при вдавливании цилиндрического штампа (см. рис.27). I - область всестороннего сжатия, ограниченная поверхностью 1 = 0, II - в этой области одно из главных напряжений - растягивающее напряжение - больше нуля ( 0). Эта область ограничена поверхностью 2 = 0. |
Рис.27 |
III - эта область лежит ниже границы, где 2 = 0. Здесь 1 0 и 2 0.
Для оценки величин нормальных напряжений (1, 2, 3) рассмотрим картину изменений напряжений по оси симметрии z (рис.28).
|
Рис.28 График изменения напряжений в полупространстве на оси симметрии (r=0) |
Из этого графика видно, что напряжения уменьшаются с удалением вглубь от поверхности контакта. Причем, более быстро уменьшаются величины 1 и 2, которые на некоторой глубине переходят, хотя и в незначительные, но в растягивающие. В случае вдавливания цилиндрического Пуассона в горную породу, принято характеризовать ее напряженное состояние касательными напряжениями , от величины которых во многом зависит энергоемкость процесса разрушения. |
|
Рис.29 |
На рис.29 показано распределение максимальных касательных напряжений в относительных единицах. Величину максимального касательного напряжения можно определить по формуле С. П. Тимошенко: |
,
либо по формуле Р. М. Эйгелеса:
.
Из этих формул видно, что величина максимальных касательных напряжений зависит только от коэффициента Пуассона. Наибольшее значение max ,будет иметь место на контуре штампа.