Семинар 7. Распределение Больцмана

Если идеальный газ находится в силовом поле, то его состояние может быть нестационарным, неравновесным. Тогда распределение Гиббса для него неприменимо. Только некоторые потенциальные поля приводят молекулярную систему к тепловому равновесию и стационарному распределению частиц в пространстве. Такими полями являются однородное гравитационное поле, поле центробежных сил и электростатическое поле. В этих трех случаях распределение Гиббса применимо. Т.к. потенциальная энергия частицы не зависит от ее скорости, а кинетическая энергия не зависит от координаты частицы, то можно рассматривать распределение по скоростям и по координатам отдельно. Распределение частиц по скоростям описывается распределением Максвелла, а пространственное распределение частиц описывается распределением Больцмана. В общем случае, если потенциальная энергия частицы зависит от трех координат - , то распределение Больцмана имеет следующий вид:

(7.1).

В однородном гравитационном поле(g=const) потенциальная энергия частицы равна и распределение Больцмана записывается:

. (7.2)

26

На основании того, что , из (7.2) получается выражение для пространственной концентрации частиц как функции от высоты z:

, (7.3)

где – концентрация частиц на высоте z, -концентрация на высоте, где потенциальная энергия равна нулю, – молярная масса газа, R=8,314 Дж/(мольК) (универсальная газовая постоянная). Выражение для может быть получено из условия сохранения количества частиц в газовом столбе высотой Н и площадью сечения S =1 :

,

. (7.4)

В поле центробежных сил, например, во вращающейся с угловой скоростью центрифуге, – потенциальная энергия молекулы зависит от ее удаленности r от оси вращения. В этом случае пространственная концентрация определяется следующим образом:

, (7.5)

где – концентрация частиц на оси вращающегося цилиндра. Значение этой величины можно получить из условия сохранения полного числа частиц в объеме цилиндра радиуса R и высоты H.

. (7.6)

27

Так как , то выражение (7.6) примет вид

, (7.7)

отсюда получается выражение для :

. (7.8)

З а д а ч и

7.1. Для определения числа Авогадро Перрен измерял распределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных в воде. Он нашел, что отношение числа частиц в слоях, отстоящих друг от друга на расстояние l=30 мкм, равно 2,08. Плотности частиц = 1,194 г/ , воды =1 г/ . Радиусы частиц r = 0,212 мкм. На основании этих данных вычислить число Авогадро. Температура воды t=18C.

7.2. Методом статистической суммы найти среднюю потенциальную энергию молекулы воздуха в идеальной атмосфере (g=const, T=const на любой высоте). Вычислить молярную теплоемкость газа С^. Считать, что молекулам газа доступна высота от нуля до бесконечности.

7.3. В теплоизолированный цилиндрический сосуд высоты H помещен моль идеального газа с относительной молекулярной массой . Цилиндр подвешен в вертикальном положении в однородном поле тяжести. Температура газа в сосуде везде одинакова и равна T. Найти среднюю потенциальную энергию молекулы газа , теплоемкость этого газа, учитывая влияние поля тяжести и предполагая, что .

28

7.4. Для определения относительных молекулярных масс коллоидальных частиц исследуют распределение их концентрации в поле центробежной силы, возникающей при вращении центрифуги. Найти относительную молекулярную массу коллоидальных частиц, если известно, что отношение их концентраций в местах, расположенных от оси центрифуги на расстояниях , равно . Плотности частиц - , растворителя - . Угловая скорость вращения центрифуги .

7.5. Найти зависимость концентрации газа n₀(0) на оси вращения центрифуги от ее угловой скорости . Построить примерный график.

7.6. Цилиндр радиуса R и длины H, наполненный химически однородным газом, равномерно вращается в однородном поле тяжести вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью . Найти распределение молекул газа внутри цилиндра, если его ось направлена вертикально.

О т в е т ы

7.1. .

2. ,

3. ,

.

7.4. .

29

7.6. Число молекул dN с координатами между r и r+dr, z и z+dz равно

,

где N- общее число молекул в сосуде.