2.13. Асимптоты
Прямая линия называется асимптотойдля кривойy=f(x), если расстояние от точкиM(x,y), лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при движении точкиМвдоль какой-нибудь ветви кривой в бесконечность.
Различают три вида асимптот: вертикальные (рис.2.13), горизонтальные (рис.2.14), наклонные (рис.2.15).
Рис.2.13 Рис.2.14
Рис.2.15
Вертикальные асимптоты. Если хотя бы один из пределов функцииf(x)в точкеaсправа или слева равен бесконечности, то прямаяx = a–вертикальная асимптота.
Горизонтальные асимптоты. Если
существуют пределы
f(x)=
и
f(x)=
,
то прямаяy =
-правая горизонтальная асимптота,y =
-левая горизонтальная асимптота.
Наклонные асимптоты. Если существуют пределы
=
,
(f(x)-
x)
=
,
то прямаяy=
x+
,
-наклонная правая асимптота.
Если существуют пределы
=
,
(f(x)-
x)
=
,
то прямаяy=
x+
,
-наклонная левая асимптота.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Найдем асимптоты функций.
ПРИМЕР 1.y=
;
Решение.
Найдем вертикальные асимптоты. Область определения функции не включает точку x=3. Проверим, что в этой точке графикf(x)имеет вертикальную асимптоту:
=
+
,
=
-
.
По определению, x=3 – вертикальная асимптота.
Исследуем на горизонтальные асимптоты:
f(x)=
=
,
f(x)=
=
,
таким образом, кривая имеет горизонтальную
асимптоту:y=5.
Исследуем на наклонные асимптоты. В данном случае они совпадут с горизонтальными. Покажем это:
=
=
=0,
аналогично
=0
– поэтому угловой коэффициент равен
0, и наклонные асимптоты являются
горизонтальными.
ПРИМЕР 2.y=
;
Решение.
1.Найдем вертикальные асимптоты. Область определения функции не включает точкуx=1. Проверим, что в этой точке графикf(x)имеет вертикальную асимптоту:
Так как
f(x)=
=
+
,
f(x)=
=
-
,
то по определению кривая имеет вертикальную асимптоту x=1.
2. Найдем горизонтальные асимптоты:
f(x)=
=
+
,
f(x)=
=
-
,
поэтому горизонтальных асимптот нет.
2. Найдем наклонные асимптоты
=
=
=3,
=
=
=3=
,
т.е. существует наклонная асимптота с
угловым коэффициентомk=3.
Находим
,
:
=
(f(x)-
x)
=
,
=
(f(x)-
x)
=
,
следовательно существует наклонная
асимптотаy=3x+3.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти асимптоты:
2.107. y=
;
2.108. y=
;
2.109. y=
.
2.110. y=
;
2.111. y=
;
2.112. y=
;
2.113. y=
;
2.114. 
;
2.115. 
;
2.116. 
;
2.117. 
.
Ответы к упражнениям
2.107.y=2 - горизонтальная
асимптота;2.108.x=3 - вертикальная
асимптота,y=x-3 – наклонная
асимптота; 2.109.x=1 – вертикальная асимптота,y=2 –
горизонтальная асимптота; 2.110.x=1 – вертикальная асимптота, y =2x+1
– наклонная асимптота; 2.111.y=x+1 иy=
-3x-1 – наклонные
асимптоты;2.112.y= 0 – горизонтальная асимптота; 2.113.y= -1,y=1 – горизонтальные асимптоты. 2.114.
х=-1 - вертикальная асимптота; у=х-2 –
наклонная асимптота;2.115. х=0 -
вертикальная асимптота;
-
горизонтальная асимптота;2.116. y=4x+4
– наклонная асимптота;2.117. х=0 -
вертикальная асимптота;y=x– наклонная асимптота.
3. Общая схема исследования функции
1. Нахождение области определения.
2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность.
3. Нахождение точек пересечения графика
функции с осями координат. Точки
пересечения с осью ОХ: (
,0),
где
- решение уравненияf(x)=0.
Точки пересечения с осью ОY: (0,f(0)).
4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции. Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т.е. f(x)>0 илиf(x)<0.
5. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек.
6. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума.
7. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба.
Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва. Нахождение вертикальных, горизонтальных, наклонных асимптот.
Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках).
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 1. Исследовать функциюf(x)=
и построить график;
1. D(f)=ℝ
.
2. f(-x)
f(x)иf(-x)
-f(x),
следовательно,f(x)- функция общего вида.
3. Точки пересечения с осями координат:
OX: y=0,
,x= -1,x=3; (-1,0), (3,0);
OY:x=0,f(0)= -
;
(0,-
).
4. Промежутки знакопостоянства:
f(x)<0
приx
(-
,-1)
(-1,3)
(3,+
)
5. Найдем производную функции, промежутки возрастания, убывания, точки экстремума
Область определения производной функции:
D(
)=R.
=0,x=-1,x=3,x=1.
f(x)возрастает на промежутках (-
,-1]
и [1,3];
f(x)убывает на промежутках [-1,1] и [3,+
).
Точки экстремума:
,f(1)= -1;
,f(-1)= 0;
,f(3)= 0;
6. Найдем промежутки выпуклости, вогнутости функции и ее точки перегиба.
После преобразований получим, что
.
Обозначим
Таким образом, получим
7.
1.Вертикальных асимптот нет, так как f(x)определена(и непрерывна) на всей числовой прямой.
Исследуем поведение функции на бесконечности.
2. Исследуем на наличие горизонтальных асимптот.
f(x)=
=
,
f(x)=
=
.
Таким образом, горизонтальные асимптоты отсутствуют.
3. Исследуем на наличие наклонных асимптот.
=
=
.
Таким образом, наклонные асимптоты отсутствуют.
8. Дополнительные точки: f(-3)= -9,f(5)= -9.
9. Построим график функции:
Рис.2.16
УПРАЖНЕНИЯ
Исследовать и построить графики следующих функций:
3.1. f(x)=
;
3.2. f(x)=
;
3.3. f(x)=
;
3.4. f(x)=
;
3.5. f(x)=
;
3.6. f(x)=
;
3.7. f(x)=
;
3.8.f(x)=1+
;
3.9.f(x)=
;
3.10.f(x)=
.
Ответы к упражнениям