3.. Существование, единственность и корректность решений краевых задач теплопроводности
Существование решений различных краевых задач теплопроводности было доказано в рамках данной темы 3.
1. Докажем единственность решения общей краевой задачи.
Доказательство
проведём от противного: предположим,
что есть 2 разных решения этой краевой
задачи, 
и 
.
Построим функцию
.
Поставим для неё краевую задачу
Решение этой краевой задачи в соответствие с теоремой об экстремуме является нулевым, значит,
.
2. Вернемся к задаче на охлаждение бесконечного стержня.
При доказательстве будем
считать 
во
всей области определения решения.
Исходя от противного
предположим, что есть два разных решения
и 
.
Получаем ограничение для функции 
.
Временно ограничим
координату 
и введем функцию 
,
которая удовлетворяет уравнению
теплопроводности.
Поскольку 
,
,
получаем 
и на основе следствия 3 из теоремы об
экстремуме 
.
.
Устремляем 
и получаем
-
.
Следовательно, 
.
3. Краевую задачу будем называть корректной, если малому изменению начальных или краевых условий соответствует малое изменение её решения. Рассмотрим 2 краевые задачи, отличающиеся малым изменением начальных и краевых условий.
Построим функцию
,
для которой получим:
Здесь в качестве
выбрано наибольшее из 
,
,
.
Видим, что на границе области 
.
В соответствие со следствием 3 получаем
во всей области определения решения.
Следовательно, 
мало отличается от 
.
Тема IV.Краевые задачи эллиптического типа.
4.2. Решение одномерных уравнений Пуассона и Лапласа
Рассмотрим случаи, когда функция u зависит от одной переменной.
а) Сферическая симметрия.
Пусть u= u(r), f=f(r), тогда уравнение (4.1) примет вид
Умножаем
на 
и получаем после интегрирования 
.
Умножаем
и после интегрирования получаем
общее решение уравнения Пуассона.
При
f=const,
.
При
f=0,
общее решение уравнения Лапласа.
б) Цилиндрическая симметрия.
Пусть
тогда уравнение (4.1) перейдет в уравнение
.
Умножаем
на 
и после интегрирования получаем 
.
Умножаем
на 
и после интегрирования получаем:
общее решение уравнения Пуассона.
При
f=const,
.
При
f=0,
общее решение уравнения Лапласа.
в) прямоугольная симметрия.
Пусть u=u(x), f=f(x), тогда уравнение (4.1) будет таким
.
Умножаем
на dx
и после интегрирования получаем 
.
Умножаем на dx и после интегрирования получаем
общее решение уравнения Пуассона.
При
f=const,
При
f=0,
общее решение уравнения Лапласа.
4.3. Решение двумерных уравнений Лапласа методом разделенных переменных
Пусть u=u(x, y), f=f(x, y).
Перейдем
к полярным координатам 
,
(см. параграф 4.1
.
Считая границей окружность радиуса r построим краевую задачу:
Пусть
.
Разделим на 
:
,
где 
,
так как 
независимые переменные.
Уравнение
имеет общее решение 
.
Условие
периодичности функции 
дает 
Поучаем
Ищем частные решения уравнения
Будем
искать решение в виде 
Выберем
В зависимости от области определения решения имеем
Общее решение краевой задачи представим в виде ряда
Краевые условия дают
где
Для внутренней области введем обозначения
Для внешней области
Общее решение запишем следующим образом:
Обозначим
В общем виде получаем
Для
того чтобы (4.3) было общим решением (4.2),
необходимо, чтобы равномерно сходились
ряды 
.
Будем
считать, что 
не обращается в бесконечность, т.е 
.
Тогда введем мажорантные ряды:
Следовательно,
ряды 
равномерно сходятся, и (4.3) является
общим решением поставленной краевой
задачи.