Расстояние от точки до прямой.

Расстояние d от точки до прямой (см. рис.), заданной общим уравнениемможет быть найдено по формуле

Пример: В треугольнике (рис.) с вершинами О(0,0), А(12,5) и В (6,8) найти уравнение сторон, высоты (В, К) биссектрисы (О, Е) угол , длину (В, К)

Решение: Используя (5), получим

или ;

или ;

или ;

Так как (В, К) (А, О), то (24,3) .

Отсюда получаем (В, К) у – 8 = или 12х + 5у – 112 = 0. Для нахождения уравнения (О ,Е) найдем координаты точки Е, используя то, что Е (конец биссектрисы) делит отрезок ВА в отношении . Так как длины |ОВ| = 10; |ОА| = 13, тои по формуле деления отрезка в данном отношении получаем.

Отсюда, опять используя уравнения прямой проходящей через две точки, получаем уравнение (О, Е) : 7х – 9у = 0. По последней формуле для угла между прямыми - θ = - имеем

Наконец длину высоты найдем используя формулу расстояния точки В до прямой (О, А) : .

Уравнения плоскости в пространстве.

Плоскость (Р), вложенную в д.с.к. пространства (рис. 14), вполне определяют лежащая на ней фиксированная точка М₀ (х₀,у₀,z₀) и любой ее так называемый нормальный вектор , перпендикулярный (Р). Условием принадлежности текущей точки М (х,у,z) (рис. 14) этой плоскости (Р) является равенство переписанное в виде

(1, а)

или (1,б)

оно именуется как векторное уравнение плоскости. Расписав в координатной форме (1,а) и (1,б) последовательно, получим: уравнение плоскости с нормальным вектором ,содержащей точку М₀ (х₀,у₀,z₀) –

А · (х-х₀) + В · (у-у₀) + С · (z-z₀) = 0

; (2)

и общее уравнение плоскости –

А · х + В · у + С · z + D = 0

: (3)

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние d от точки М_* (х_*,у_*,z_*) до плоскости (рисунок ниже), заданной общим уравнением

А · х + В · у + С · z + D = 0

может быть найдено по формуле

Пример:

Найти: уравнение плоскости (Р₀) (рис), содержащей точки А (1,1,1); Е(5,-1,1) и С(5,0,0); расстояние от D(6,2,2) до этой плоскости и уравнение плоскости (Р₁), которая параллельна (Р₀) и содержит точку D.

Решение: Возьмем сначала

Сжав его в два раза получим . Отсюда используя соответствующее уравнение плоскости получаем

(Р₀): (х-1)+2(у-1)+2(z-1) = 0 или х+2у+2z –5=0

(Р₁) : (х-6)+2(у-2)+2(z-2) = 0 или х+2у+2z-14=0

Теперь по формуле для расстояния от точки до плоскости расстояние D до (Р₀):

/