Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

2. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

3. Нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка.

4. Метод вариации произвольных постоянных при нахождении решения линейного неоднородного уравнения второго порядка.

5. Теорема о наложении решений.

Методические рекомендации

Для подготовки к занятию дома

1. Прочитайте конспект лекции, соответствующий теме занятия. Запомните основные определения.

2. Изучите рекомендуемую литературу по вопросам, выносимым на обсуждение.

3. Найдите ответы на теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями. Подготовьтесь к ответам на эти вопросы на занятии.

4. Законспектируйте ответы на теоретические задания, которые не содержатся в Вашем конспекте лекции по указанной теме.

5. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

На занятии по указанию преподавателя

1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

3. Решите, предложенный преподавателем вариант самостоятельной работы №17 по теме «Комплексные числа» и сдайте выполненную работу на проверку.

Дома

1. Выполните в тетради для индивидуальных домашних заданий ИДЗ №10 по теме «Дифференциальные уравнения» в соответствии с номером вашего варианта и сдайте эту работу на следующем занятии на проверку преподавателю.

2. Пройдите самостоятельно тренировочное тестирование по разделам «Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения» в указанное преподавателем время. В случае неудовлетворительных результатов рекомендуется дополнительно решить приведенные практические задания для развития и контроля владения компетенциями, приведенные к этому занятию.

3. Подготовьтесь к итоговому тестированию по материалам этого семестра.

4. Подготовьтесь к самостоятельной работе №18 по теме «Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами», примерный вариант работы Вы можете найти в программе дисциплины.

Рекомендуемая литература

[1] глава 13 пп 13.4.

[2] часть 2, глава IV § 3.

[3] глава 10 § 65.

[4] часть III занятие 19.

[5] глава 6 § 6.3.

[6] глава 15 §§ 3 - 4.

[7] глава XV §§ 3 - 4.

Примеры решения типовых задач

1. Запишите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если известны корни характеристического уравнения .

Решение. Так как характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид . Тогда получаем, или- искомое решение.

2. По корням характеристического уравнения составьте линейное однородное дифференциальное уравнение.

Решение. Пользуясь теоремой Виета составим характеристическое уравнение: так как ,, то. По характеристическому уравнению получаем линейное однородное дифференциальное уравнение.

3. Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка .

Решение. Составляем характеристическое уравнение , его корни. Так как имеем два равных корня, то общее решение данного уравнения имеет вид, где. Следовательно, получаем.

4. Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Решение. Общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решениясоответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного. Составляем соответствующее линейное однородное уравнение , его характеристическое уравнение, имеет два равных корня . Тогда общее решение линейного однородного уравнения. Частное решение линейного неоднородного уравнения будем искать в виде. Находим,

.

Подставляем в данное уравнение вместосоответственно:

.

Получаем ,,.Тогда . Следовательно,- искомое общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.