2. Законы Кирхгофа для электрической цепи

В цепи, содержащей пассивные элементы и источники напряжения, необходимо определять столько токов, сколько ветвей имеет цепь. При этом по первому закону Кирхгофа следует составить q-1 уравнений, где q – число узлов в цепи; а по второму закону – m- (q-1) уравнений, где m – число независимых контуров. В общем случае при наличии источников переменного тока, уравнения записывают для мгновенных значений. Например, для цепи рисунка 4 справедливым являются выражения:

i₁ – i₂ + i₃ = 0;

(R_i1 + R₁)i₁ + R₂ i₂ = e₁;

R₂ i₂ + (R_i3 + R₃)i₃ = e₃.

Если в сети действуют только источники гармонической ЭДС одинаковой частоты, то уравнения электрического равновесия цепи можно записать в комплексной форме:

İ₁- İ₂ + İ₃ = 0;

(R_i1 + R₁) İ₁ + R₂ İ₂ = Ė_1;

R₂ İ₂ + (R_i3 + R₃) İ₃ = Ė_3;

или

I₁ e^jφi1 – I₂ e^jφi2 + I₃ e^jφi3 =0;

(R_i1 + R₁) I₁ e^jφi1 + R₂ I₂ e^jφi2 = E₁ e^jφе;

R₂ I₂ e^jφi2 + (R_i3 + R₃) I₃ e^jφi3 = E₃ e^jφе.

В цепи, состоящей из чисто резистивных элементов, питаемых от гармонических источников с одинаковыми частотами и начальными фазами, все отклики имеют одинаковое значение фазы φ_e1 = φ_e3 = φ_i1 = φ_i2 = φ_i3 = φ, множители e^jφ в правых и левых частях уравнений электрического равновесия сокращаются:

I₁ - I₂ + I₃ = 0;

(R_i1 + R₁) I₁ + R₂ I₂ = E₁;

R₂ I₂ + (R_i3 + R₃) I₃ = E_3.

Заметим, что в резистивных цепях действующие значения откликов оказываются такими же, какими они были бы при питании цепи от источника постоянного напряжения с ЭДС, равными собственно E₁, E₂, E₃ с одинаковыми или противоположными начальными фазами. В этом случае явления, происходящие в цепях переменного тока, по энергетическим свойствам схожи с явлениями, имеющими место в цепях постоянного тока. При составлении уравнений знаки у ЭДС и токов определяются следующим образом: ЭДС, положительные направления которых совпадают с выбранным направлением обхода по контуру, имеют знак плюс; а ЭДС, направления которых противоположны направлению обхода – знак минус. Аналогично, со знаком плюс записывают падения напряжений, вызванные токами, положительные направления которых совпадают с направлением обхода по контуру, и наоборот.

Если после подстановки числовых значений и выполнения всех расчетов, значения некоторых токов отрицательны, то действительные направления этих токов противоположны выбранным.

Если в исследуемую цепь включить хотя бы один реактивный элемент или изменить соотношения между начальными фазами источников, то уравнения, составленные для действующих значений напряжений и токов, перестают быть справедливым. В этом случае записывать уравнения можно либо для комплексных, либо для мгновенных значений.

Если в цепи имеются источники тока, то число неизвестных токов, а следовательно и уравнений, которые необходимо составить для нахождения тока в данной цепи, уменьшается на число ветвей, в которые включены источники тока. Например, в цепи рисунка 5 – три ветви, но в одной из них находится источник тока J, поэтому ток этой ветви известен и определять требуется только два тока, для чего достаточно двух уравнений:

откуда при указанной полярности источников

;

Сопротивление R₃ в данные уравнения не входит, т. к. ток третьей ветви определяется источником тока I и не зависит от сопротивлений, включенных в данную ветвь.

В электрической цепи, состоящей только из резистивных элементов, активная мощность источников Р_u равна активной мощности, рассеиваемой в нагрузке Р_н. Активная мощность источников напряжения гармонической формы , где,_, ,– действующие и максимальные значения ЭДС и тока соответственно. Если положительное направление ЭДС совпадает с положительным направлением тока, протекающим через источник, то мощность, создаваемая этим источником, является положительной, если противоположно ему, то отрицательной. Активная мощность, рассеиваемая в нагрузке:

,

где– действующее значение тока, протекающего через нагрузку;R – сопротивление нагрузочного резистора. Так как в нагрузке электрическая энергия необратимо переходит в тепловую, то мощность Р_н > 0. Так как измерительная аппаратура обладает некоторой погрешностью, то при выполнении экспериментов мощности источников и нагрузок могут отличаться, но эта разница не должна превышать 3%.