Матрица коэффициентов

По диагонали от левого верхнего угла до правого нижнего выписывают все коэффициенты по порядку от а₁до аn. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с чётными и нечётными индексами. В случае отсутствия даннного коэффициента или если его индекс <0 или >n, то на его место пишется 0.

а1 а3 а5 ………0 1=а1>0

а0 а2 а4 ………0 а1 а3

0. а1 а3 а5…....0 2= а0 а2

………………. а1 а3 а5

……………..аn 3= а0 а2 а4

0. а1 а3

…………………

n =аn* n-1

Если аn=0 , то имеет место апериодическая граница устойчивости.

Еслиn₁=0, то это колебательная граница устойчивости.

6.2.2 Критерий Раусса.

Так же базируется на коэффициентах характеристического уравнения, из которого строится таблица.

Для устойчивости систем по критерию Раусса необходимо и достаточно чтобы при а0>0 все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса были положительными.

а0	а2	а4	а6	а8
а1	а3	а5	а7	а9
b1	b2	b3	b4	0
c1	c2	c3	…	…
…	…	…	…	…

b1=(a1*a2-a0*a3)/a1

b2=(a1*a4-a0*a5)/a1

b3=(a1*a6-a0*a7)/a1

b4=(a1*a8-a0*a9)/a1

c1=(b1*a3-a1*b2)/b1

c2=(b1*a5-a1*b3)/b1……

Для устойчивости системы все коэффициенты 1-го столбца должны быть больше 0

а0>0, a1>0…

6.3. Частотные критерии

6.3.1 Критерий Михайлова.

Критерий базируется на поведении кривой, которую описывает конец вектора (X(ω),Y(ω))замкнутойсистемы при изменении частоты от 0 до +.

Возьмём характеристический полином следующего вида:

(1)

Подставим в него и выделим вещественную и мнимую части.

- вещественная часть,

- мнимая часть.

Изобразим годограф Михайлова выраженияна комплексной плоскости.

Берём значения и строим годограф. Для различныхгодограф имеет формы, представленные на рисунке. Эти годографы называютсякривыми Михайлова. Кривая Михайлова строится по точкам, рассчитываетсяи для данной частоты, на кривой указываются значения частоты.

Формулировка критерия Михайлова.

Чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jω) при изменении частоты от 0 до +∞ начал движение с точки, лежащей на положительной вещественной оси, и, вращаясь только против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательноnквадрантов комплексной плоскости, повернувшись на уголn∙π/2, гдеn– степень характеристического уравненияD(jω)=0

Другими словами, требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно квадрантов против часовой стрелки, всё время огибая начало координат и уходила вв том квадранте, номер которого соответствует показателю степени полинома. Если это условие не выполняется, то система является неустойчивой.

Устойчивая Неустойчивая Апериодическая Колебательная

граница устойчивости граница устойчивости

Другая формулировка критерия Михайлова:

Она состоит в использовании свойства перемежаемости корней многочленов и .

Идя по кривой Михайлова от т. в направлении возрастания частоты, мы выходим из оси, затем пересекаем ось , потом сноваи т. д.

Это значит, что корни уравнений и должны следовать поочерёдно друг за другом.

Кривые и имеют приблизительно такой вид:

Перемежаться должны корни ,,,… Между ними должно быть следующее соотношение:

Условием устойчивости системы является перемежаемость корней полиномов вещественной и мнимой частей комплексной передаточной функции. Нарушение этого условия говорит о неустойчивости системы.