3.3. ТестЧоу

Пусть совокупность состоит из двух подвыборок. Допустим, что число наблюдений в первой подвыборке равно nA, во второй nB. У нас есть альтернатива: объединить подвыборки и оценивать одну объединенную регрессию или строить отдельные регрессии для каждой подвыборки.

Запишем уравнения регрессии для каждой из частей совокупности:

Если коэффициенты регрессии в обеих частях достаточно близки, то их можно считать регрессионно однородными и рассматривать не два отдельных уравнения, а одно общее уравнение, рассчитанное по совокупности в целом.

Проверяемая гипотеза имеет вид:

H 0 : β0A = β0B , β1A = β1B ,...., βkA = βkB , D(εiA ) = D(εiB ) = σ 2 .

Г. Чоу (Chow) предложил тест для проверки гипотезы Но. Рассчитываются суммы квадратов остатков для регрессий подвыборок QоAcт ,

QоBcт и по объединенной выборке QостP .

Равенство между QоPcт = QоAcт + QоBcт будет иметь место только при

совпадении коэффициентов регрессии для объединенной регрессии и регрессий подвыборок. В общем случае при разделении выборки будет наблюдаться улучшение качества уравнения, что можно представить, как QоPcт −QоAcт −QоBcт . Это имеет свою цену: используются (k+1) дополнительных

степеней свободы, так как вместо (k + 1) параметров для одной объединенной регрессии мы теперь должны оценить в сумме (2k+2) параметров (k — число объясняющих переменных, единица соответствует постоянному члену). После разделения выборки, однако, остается необъясненная сумма квадратов остатков QоAcт + QоBcт и, кроме того (n — 2k —

2) степеней свободы.

Для того, чтобы определить, является ли значимым улучшение качества уравнения после разделения выборки, используется F-статистика:

которая имеет распределение Фишера с (k+1) и (n—2k—2) степенями свободы.

Задача 4

По данным задачи 3 с помощью теста Чоу проверьте, что коэффициенты регрессионных уравнений для мужчин и женщин одинаковы.

Решение

Построим уравнение регрессии зависимости производительности труда от результатов теста отдельно для мужчин и женщин (рис. 3.6 и 3.7).

Рис. 3.6. Вывод уравнения зависимости производительности труда от результатов теста для женщин

Как видно из рис. 3.6 значение Q остаточное для этого уравнения равно

10,8281.

Рис. 3.7. Вывод уравнения зависимости производительности труда от результатов теста для мужчин

Для мужчин значение Q остаточное равно 4,09.

Построим уравнение регрессии для всей выборки и мужчин и женщин

(рис. 3.8).

Рис. 3.8. Вывод уравнения зависимости производительности труда от результатов теста для всей выборки

Как видно Q остаточное для всей выборки равно 32,345.

Проверим гипотезуH0 : β0A = β0B , β1A = β1B , то есть коэффициенты при

переменной «Результаты теста» одинаковы для мужчин и женщин. Воспользуемся формулой (3.3).

Найдем Fкрит для числа степеней свободы ν1=k+1=1+1=2 и ν2=n—2k— 2=15-2-2=11 по таблице распределения Фишера или используя функцию

Excel FРАСПОБР(0,05; 2; 11) = 3,98.

Так как Fнабл=6,4>Fкрит=6.4, то гипотеза о равенстве коэффициентов регрессии отвергается.