Задача №5

Даны матрицы . Вычислить произведение матриц . Найти обратную матрицу прямыми вычислениями, а также с использованием формулы .

План решения

Для решения задачи нужен материал лекций 3 и 4 из пособия [1]. Следует обратить особое внимание на числовую иллюстрацию на стр. 14, а также на примеры 7 (стр. 16) и 8 (стр. 17).

Применяя определения 8 (стр. 13) и 9 (стр. 14), вычислим матрицу :

.

Вычисляем . Числовые параметры a, b и c во всех вариантах подобраны так, что . По теореме 3, стр. 17, обратная матрица существует и имеет вид:

,

где – транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы C (см. определения 11, стр. 15, и 12, стр. 16). Подсчитаем элементы матрицы :

Теперь остается транспонировать матрицу (см. определение 3, стр. 5, и числовую иллюстрацию после него) и поделить все элементы полученной матрицы на .

Вычислим теперь матрицу , используя формулу (см. свойство 4 обратной матрицы на стр. 15). Сначала вычисляем и . По свойству 9 определителей (см. стр.10) , а так как мы уже получили, что левая часть этого равенства неравна нулю, то и , то есть обратные матрицы и существуют. Эти матрицы вычисляются так же, как мы вычислили матрицу . Посчитав произведение , мы должны получить матрицу . Совпадение этих матриц есть необходимое условие правильности вычислений.

€

Задача №6

Пусть заданы две точки: и . Записать в параметрическом виде уравнения прямой :

1) проходящей через точку A, параллельно вектору ;

2) проходящей через точки A и B.

План решения

Решение задачи базируется на материале лекции 10 из пособия [2]. Особое внимание следует обратить на числовую иллюстрацию на стр. 3, а также на пример 21, стр. 4.

1) Так как есть направляющий вектор прямой , то применяя формулу (42), стр. 3, получаем:

.

2) Очевидно, что в данном случае в качестве направляющего вектора можно взять вектор . Опять по формуле (42) получаем:

	.
			€

Задача №7

Даны три точки: . Записать уравнение плоскости P:

1) проходящей через точку A перпендикулярно вектору ;

2) проходящей через три точки A, B и C;

3) проходящей через точку B и прямую .

План решения

Перед решением задачи следует тщательно изучить лекцию 10 из пособия [2].

1) Имеем: . Применяя формулу (44), стр. 5, получаем:

.

2) Вычислим два вектора: и . Параметры b и c подобраны так, что во всех вариантах векторы и линейно независимы. Поэтому для нахождения уравнения плоскости P можно применить формулу (45), стр. 6:

P: .

Раскладывая этот определитель по первой колонне, получим уравнение плоскости P в общем виде (см. определение 27 на стр. 7).

При подстановке в полученное уравнение координат точек A, B и C должны получаться верные равенства. Эта проверка должна обязательно присутствовать в решении данной задачи!

3) Перед решением этого пункта полезно усвоить пример 23, стр. 6. Из уравнения прямой следует, что она проходит через точку и имеет направляющий вектор . Рассмотрим два вектора: и . Во всех вариантах параметры a, b и c подобраны так, что векторы и линейно независимы. Таким образом, искомая плоскость P проходит через точку B и неколлинеарные векторы и . Применяя, как и в предыдущем пункте, формулу (45), получаем:

P: .

Полученное уравнение, как и в предыдущем пункте, нужно привести к общему виду.

€