3. Д.У. Второго порядка. Основные понятия и определения

В этом пункте в основном повторяются положения п. 1. Д.у. 2-го порядка в общем виде записывается так:

(3.1)

Если уравнение (3.1) можно разрешить относительно , то получим д.у. 2-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

(3.2)

Формулировка задачи Коши: найти решение уравнения (3.2), удовлетворяющее начальным условиям:

при (3.3)

где известные числа.

Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши: если в окрестности точки функция непрерывна и ее частные производные ограничены, то решение задачи Коши (3.2), (3.3) существует и единственно.

Общим решением д.у. (3.2) называется двухпараметрическое семейство его решений

, (3.4)

где функция такая, что решение задачи Коши (3.2), (3.3) для тех точек , где оно существует и единственно, может быть получено из формулы (3.4) выбором произвольных постоянных и .

Частным решением называется решение (3.4) при фиксированных значениях и . Особое решение д.у.  это такое его решение, которое не может быть получено из формулы (3.4) выбором произвольных постоянных и .

4. Уравнения, допускающие понижение порядка

4.1. Если в уравнении (3.1) или (3.2) не содержится явно функции , то порядок уравнения можно понизить введением новой функции :

(4.1)

4.2. Если в уравнении (3.1) или (3.2) не содержится явно переменной интегрирования : , то порядок уравнения можно понизить введением новой переменной интегрирования (вместо переменной ) и новой неизвестной функции :

(4.2)

5. Линейные однородные уравнения второго порядка

В данной работе мы рассматриваем только линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОУ) второго порядка с постоянными коэффициентами. Более полное изложение вопроса см. в работе .

, (5.1)

где известные числа.

ЛОУ имеют фундаментальные системы решений (Ф.С.Р.). Для ЛОУ 2-го порядка  это два линейно независимых частных решений . Они удовлетворяют условию:

Общее решение ЛОУ  линейная комбинация уравнений фундаментальной системы:

. (5.2)

Частное решение ищем в виде . Для определения

получаем характеристическое уравнение

В зависимости от корней характеристического уравнения строим Ф.С.Р. и находим общее решение по следующим правилам, приведенным в таблице

Таблица 1

,
,