Логічний квадрат:

а) відношення контрадикторності: судження, які знаходяться в таких відношеннях не можуть бути одночасно істинними, а ні одночасно хибними.

Якщо А – істинне судження, О – завжди хибне,

Якщо Е – істинне, І завжди хибне.

(Наприклад: Е – “Жодний студент не співає” (хибне),

І – “Деякі студенти співають” (істинне)).

б) відношення контрарності: судження не можуть бути одночасно істинними, але можуть бути одночасно хибними.

Якщо А – істинне судження, то Е обов’язково хибне,

Якщо А – хибне, Е може бути істинними, чи хибними

(Наприклад: А – “Всі студенти 12 групи - відмінники” (хибне),

Е – “Жодний студент 12 групи – не відмінник” (може бути як істинним, так і хибним судженням).

в) відношення підконтрарності: судження можуть бути одночасно істинними, але не можуть бути одночасно хибними.

Якщо І – хибне судження, то О – обов’язково істинне,

Якщо І – істинне, то О – істинне, або хибне.

(Наприклад: І – “Деякі мікроби хроботворні” (істинне),

О – “Деякі мікроби не хроботворні” (істинне)).

г) відношення підпорядкування: А, Е – судження, які підпорядковують; І, О – судження, які підпорядковуються.

Істинність суджень А, Е потребує істинності суджень І, О, але не навпаки. Хибність суджень І, О потребує хибності суджень А, Е, але не навпаки.

(Наприклад: “Всі учні цього класу - спортсмени” (А)-істинне,

“Деякі учні цього класу - спортсмени” (І)-істинне, але навпаки важко сказати).

Е) Ділення суджень за модальністю.

Всяке судження можна розглядати з точки зору його модальності (від лат. modus засіб, міра, вид), тобто наскільки ця ознака є суттєвою для даного предмету, чи який характер має відображений зв’язок в судженні між предметом і ознакою.

За модальністю судження діляться:

• судження про можливість: відображає можливість деякого явища: “Після спекотного дня можлива гроза”;

• судження про дійсність: розкриває факт належності чи відсутності даного явища: “Наполеон помер на острові св. Олени”;

• судження про необхідність: виражає думку про необхідність процесу, відносин: “Енергія перетворюється з однієї форми в іншу”.

Модальність може бути: фізичною (обумовлена законами та фактами суспільних та природничих наук), логічною (обумовлена логічними законами), програмною (обумовлена програмами, правилами, які створили люди).

2.Складні судження і їх види.

Складне судження: яке містить більш ніж одне просте судження. Судження зв’язують логічні зв’язки. При з’єднанні простих суджень в складні ми відволікаємося від різних змістових зв’язків між думками і враховуємо тільки одну властивість всіх суджень: властивість бути істинним, або хибним. Істинність або хибність судження називаються їх логічними значеннями. Поєднання логічних значень може бути представлене у вигляді таблиці:

p	q
+	+
+	-
-	+
-	-

Логічний зв’язок – це засіб з’єднання простих суджень в складне. Всього існує 16 можливостей зв’язування простих суджень в складне. Найбільше вживаються чотири.

А) кон’юнктивні судження: судження, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинні всі судження, які входять складне судження. Кон’юнктивний зв’язок позначається “” і виражається сполучниками: а, але, також, не дивлячись на, хоча і, одначе. (Наприклад: “Іванов живе в селі, а Петров у місті”, “Зимою сонце світить, але слабо гріє”, “Він виграв партію, однак не став чемпіоном”.)

Таблиця істинності для кон’юнктивних суджень:

p	q
+	+	+
+	-	-
-	+	-
-	-	-

Б) диз’юнктивні судження: поділяються на виключаючу диз’юнкцію, та не виключаючу диз’юнкцію.

а) виключаюча диз’юнкція (сильна): складне судження, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинне одне з суджень, що входить в складне. Сильна диз’юнкція позначається “” (наприклад: “Всяка партія в шахи закінчується або перемогою білих, або перемогою чорних, або нічиєю”).

Таблиця істинності для сильної диз’юнкції:

p	q
+	+	-
+	-	+
-	+	+
-	-	-

б) невиключаюча диз’юнкція (слабка): складне судження, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинне в крайньому разі одне з суджень, яке входить в складне. Слабка диз’юнкція позначається “” і виражається сполучниками: або те, або інше.

Таблиця істинності для слабкої диз’юнкції:

p	q
+	+	+
+	-	+
-	+	+
-	-	-

В) імплікативні судження: складне судження, яке хибне тоді і тільки тоді, коли антецедент істинний, а консеквент хибний.

Антецедент – це судження, яке іде попереду, консеквент – це судження, яке іде за антецедентом.

Імплікативне судження позначається “” і виражається сполучником: якщо, то. На відміну від кон’юнктивних суджень антецедент і консеквент в імплікативних судженнях не можна міняти місцями: висловлювання “” та “” не співпадають.

Таблиця істинності для імплікації та зворотної імплікації:

p	q
+	+	+	+
+	-	-	+
-	+	+	-
-	-	+	+

Г) судження еквівалентності: складне судження, яке істинне тоді і тільки тоді, коли прості судження одночасно або істинні, або хибні. Еквівалентність позначається “” і виражається сполучником: тоді і тільки тоді, коли.

Таблиця істинності для еквівалентності:

p	q
+	+	+
+	-	-
-	+	-
-	-	+

Приклад: Визначити, чи тотожні дані судження:

+ + + - - -

+ + - - - +

- + + + - -

- - - + + +

-

-

-

+

При порівнянні результатів таблиць істинності, ми можемо зробити висновок, що дані судження є тотожними.