Зразки розв’язування задач.

Задача 1. Перевірити, чи належать точки ,,,прямій.

Розв’язання.Якщо координати точки задовольняють рівнянню, тобто перетворюють його в тотожність, то ця точка належить заданій прямій; якщо координати точки не задовольняють рівнянню, то точка не належить прямій.

Підставивши замість змінних ів рівняннякоординати точки, дістанемо тотожність, отже точканалежить заданій прямій. Аналогічно переконуємося у тому, що точканалежить прямій, а точкиіне належать.

Задача 2. Побудуйте прямі:

1. ;

б) ;

в) .

Розв’язання.

Рис. 5.1

а) Щоб побудувати пряму, знайдемо координати точок перетину з осямиі. Припустивши, що, дістанемо,,. Придістанемо,,. Через точкиіпроводимо шукану пряму (рис. 5.1).

б) Знайдемо змінну з рівняння:. На осівізьмемо точкуі проведемо пряму паралельно осі(рис.5.2).

в

Рис. 5.2

) Знайдемо зміннуз рівняння:.

Н

Рис. 5.3

а осівізьмемо точкуі проведемо пряму паралельно осі(рис. 5.3 )

Задача 3. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку і паралельна вектору.

Розв’язання. Використовуючи канонічне рівняння прямої, маємо .

Доводимо рівняння до загального вигляду:

; ;.

Задача 4. Загальне рівняння прямої перетворити в рівняння у відрізках на осях та побудувати пряму.

Розв’язання. Перетворимо рівняння: . Праву та ліву частини рівняння розділимо на:.

Тоді - рівняння у відрізках на осях.

Т

Рис. 5.4

обтоі. Отже дістанемо точкиі. Пряма, яка проведена через точкиі- шукана (рис. 5.4).

Задача 5. Обчислить кутовий коефіцієнт прямої .

Розв’язання. Розв’язавши рівняння відносно, дістанемо, звідки.

Задача 6.Складіть рівняння прямої, яка проходить через точкуі утворює з віссюкут 135⁰.

Розв’язання. Щоб скласти шукане рівняння прямої, треба знайти і. Знайдемо кутовий коефіцієнт. Для визначенняпідставимо в рівняння з кутовим коефіцієнтомкоординати даної точки і значення. Дістанемо:, звідки. Шукане рівняння має вигляд.

Задача 7. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки і.

Розв’язання. За умовою задачі: ,,,. Підставивши ці значення в рівняння прямої, яка проходить через дві точки, дістанемо:;і.

Задача 8. Трикутник задано вершинами: ,.і. Складіть рівняння медіани.

Розв’язання. Знайдемо координати точки - середини сторони:

; ;

; .

Отже, координати точки дорівнюють . Тоді рівняння сторони, де, має вигляд:;

;

;

;

;

.

Задача 9. Знайдіть вершини трикутника, якщо його сторони задано рівняннями . ;;.

Розв’язання.Щоб знайти координати вершин трикутника, треба розв’язати три системи рівнянь:

.

Перша система має розв’язок:

Друга система має розв’язок:

.

Третя система має розв’язок:

.

Отже, вершинами трикутника є точки ;;.

Завдання для самостійної роботи.

1. При якому значенні коефіцієнта прямапроходить через точку перетину прямихі.

2. Пряма проходить через точку і утворює з віссюкут, що дорівнює. Знайдіть на цій прямій точку з абсцисою.

3. Дано рівняння сторін трикутника: ;і. Знайдіть рівняння його медіан.

4. На прямій знайдіть точку, яка лежить від осі в три рази далі, ніж від осі.

5. Складіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до даного вектора і проходить через точку перетину даних прямих:

1. , ;.

2. ; ;.