4. Гипергеометрическое распределение.

Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределениес параметрамиn,M,N, если она принимает значения 0, 1, 2,m, …,min(n,M) с вероятностями

(53)гдеn,N,M– натуральные числа.

Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина X=m– число объектов, обладающих заданным свойством, средиnобъектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупностиNобъектов, М из которых обладают этим свойством.

Теорема.Математическое ожидание случайной величины Х. имеющей гипергеометрическое распределение с параметрамиn,M,N, есть, а ее дисперсия(54)

Случайную величину X=m, распределенную по биномиальному закону (47), можно интерпретировать как числоmобъектов, обладающих данным свойством, из общего числаnобъектов, случайно извлеченных из некоторой воображаемойбесконечнойсовокупности, доля р объектов которой обладает этим свойством. Поэтому гипергеометрическое распределение можно рассматривать как модификацию биномиального распределения для случаяконечнойсовокупности, состоящей изNобъектов, М из которых обладают этим свойством. Можно показать, что прифункция вероятностей (53) гипергеометрического распределения стремится к соответствующей функции (47) биномиального закона.

Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического приемочного контроля качества промышленной продукции, в задачах, связанных с организацией выборочных исследований, и в других областях.

5. Равномерный закон распределения.

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a,b], если ее плотность вероятностипостоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е(55)

Кривая распределения и график функции распределенияF(х) случайной величины Х приведены на рисунке.

Теорема.Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, естьее математическое ожидание, а ее дисперсия(56)

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке

[– 0,5; + 0,5 ]), в ряде задач массового обслуживания, при статическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению. Так, случайная величины Х, распределенная по равномерному закону на отрезке [0; 1], называемая «случайным числом от 0 до 1», служит исходным материалом для получения случайных величин с любым законом распределения.

6. Показательный (экспоненциальный) закон распределения.

Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределенияс параметром, если ее плотность вероятности имеет вид:(57)

Кривая распределения и график функции распределенияF(x) случайной величины Х приведены на рисунке.

Теорема.Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону распределения, естьее математическое ожидание, (т.е. ее среднему квадратическому отклонению), а дисперсия(58)

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, например, интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром - интенсивностью потока.

Показательный закон (и только он!) обладает важным свойством: Если промежуток времени Т, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время t, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части Т₁= Т –tпромежутка, т.е. закон распределения Т₁остается таким же, как и всего промежутка Т.