§ 2. Прямая линия на плоскости

Литература: (1, с.49-57; 2, с. 112-120; 3, с. 43-52; 4, с. 43-52)

2.1. Общее уравнение прямой

Всякое уравнение первой степени относительно текущих координат, т.е. уравнение вида:

(7)

где А, В и С – постоянные коэффициенты, причём , определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой, разрешенное относительно , т.е. уравнение вида:

(8)

называется уравнение прямой с угловым коэффициентом, где - угловой коэффициент. Угловой коэффициент:

(9)

где- угол, образованный прямой с положительным направлением оси(рис. 5) Параметрназывается начальной ординатой и равен ординате точки пересечения прямой оси.

Пример 1. Дано общее уравнение прямой . Найти угловой коэффициент этой прямой.

Решение. Разрешив данное уравнение относительно . Имеем. Сравнивая полученное уравнение с уравнением (8), заключаем, что угловой коэффициент.

2. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Угол между двумя прямымиивычисляется по формуле:

(10)

Условие параллельности прямых:

(11)

Условие перпендикулярности прямых:

(12)

Пример 2. Определить угол между прямыми и

Решение. В формуле (10) принимаем,. Тогда. Следовательно, угол между прямыми.

4. Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении

Если прямая проходит через точку , и угловой коэффициент её равен, то она описывается уравнением:

(13)

Если прямая параллельна оси , то её уравнение; если же она параллельна оси, то её уравнение.

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой 3ч+2н-7=0.

Решение. Используя уравнение (13), имеем: . Угловой коэффициент данной прямой;.

Следовательно . Уравнение искомой прямойили.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках

Если прямая проходит через две точки и, причём,, то она описывается уравнением:

(14)

В частности, для прямой, проходящей через точки и, уравнение имеет вид:

(15)

Это уравнение называется уравнением в отрезках, так как ипредставляют собой величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки (14):

Получим:

4. Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямойопределяется по формуле:

. (16)

4. Пересечение двух прямых

Чтобы найти точку пересечения двух прямых и, нужно решить систему:

(17)

Система (17) имеет единственное решение, если . Если же, то прямые параллельны. В случаепрямые сливаются.

Пример 5. Найти расстояние между прямыми и.

Решение. Данные прямые параллельны, так как их уравнения отличаются лишь свободными членами. Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, достаточно найти расстояние от какой-либо точки одной из прямых до другой. Выберем произвольную точку , пологая, например,, тогда ч=2, и найдём расстояние от точкидо прямой, пользуясь формулой (16):

4. Вопросы для самопроверки

Как определяется общее уравнение прямой?

Что называется угловым коэффициентом прямой? Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Как записывается уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении?

Запишите уравнение прямой, проходящей через две точки; в отрезках.

Как найти угол между двумя прямыми? Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Как определяется расстояние от точки до прямой?

Как находится точка пересечения прямых?

4. Примеры для самостоятельного решения

   1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол.

   2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на оси ординат отрезок.

   3. Составить уравнение прямых, проходящих через точку и параллельных оси координат.

   4. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая ?

   5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой.

   6. Даны вершины треугольника ,и. Составить уравнение высоты треугольника, проведённой из вершины С.

   7. Даны вершины треугольника ,и. Составить уравнение медианы, проведённой из вершины А.

   8. Через точку провести прямую, наклонённую под угломк данной прямой.

   9. Две стороны квадрата лежат на прямых и. Вычислить площадь квадрата.

   10. Даны вершины треугольника ,и. Вычислить длину высоты, проведённой из вершины В.

   11. Даны вершины треугольника ,и. Найти: а) величину угла В; б) точкупересечения медиан.

   12. Найти точку, симметричную с точкой относительно прямой.

4. Ответы к примерам

2.9.1. . 2.9.2.. 2.9.3..

2.9.4. . 2.9.5.2.9.6..

2.9.7. . 2.9.8.2.9.9..

2.9.10. . 2.9.11. а); б). 1.9.12..