1.3 Контрольные вопросы

1 Чем отличаются электронные модели единичного ступенчатого и гармонического воздействий ?

2 Как регулировать параметры схемы электронной модели, чтобы получить многовариантность выходных характеристик ?

3 Что называют единичным ступенчатым воздействием ?

4 Приведите математическую модель графика единичного ступенчатого воздействия ?

5 Для чего нужен генератор гармонического сигнала ?

6 Как из схемы генератора гармонического сигнала получить косинусоидальный гармонический сигнал ?

7 Какие виды внешних воздействий Вы знаете, приведите их аналитическое описание.

2Лабораторная работа II Исследование динамических свойств моделей типовых звеньев cау по временным характеристикам

Цель работы – изучение динамических характеристик типовых звеньев САУ по экспериментально полученным переходным характеристикам их электронных моделей.

2.1 Переходные характеристики типовых позиционных звеньев

Знакомство с правилами определения количественных значений коэффициента усиления и постоянных времени следует начать с апериодического звена первого порядка. Переходная характеристика его показана на рисунке 2.1. Математически эта кривая описывается показательной функцией, которая называется экспонентой :

, (2.1)

где Y_с – установившееся значение выходной величины Y, причем согласно статической характеристике Y_с= k·Х_с.

Величина Т называется постоянной времени апериодического звена и имеет размерность [с]. Она определяется на графике переходной характеристики, как величина проекции касательной на линию установившегося значения y=y_с (см. рис. 2.1), причем во всех точках кривой она одинакова. Так как касательные к экспериментально полученной кривой y(t) проводить точно бывает трудно, то можно взять две-три точки кривой (как на рис. 2.1), найти для каждой из них величину Т и выбрать какое-то среднее ее значение. Кроме того, для уточнения этого значения надо использовать следующее свойство кривой (2.1) : в точке t = Т переменная y должна иметь значение y =0.63·yс.

Из рисунка 2.1 видно, что чем больше постоянная времени Т, тем более полого пройдет кривая y(t), т.е. тем длительнее будет переходный процесс установления выходной величины y_с. Поэтому говорят, что постоянная времени Т апериодического звена характеризует его инерционность (инерционное запаздывание в передаче входного сигнала на выход звена). Длительность переходного процесса будет :

t_c ≈ (3 ÷4 ) ∙Т. (2.2)

Апериодическое звено характеризуется двумя числовыми данными :

коэффициентом усиления или передаточным числом k, определяющим статические свойства звена; постоянной времени Т, определяющей динамические свойства звена.

Переходная характеристика вида рис. 2.1, описываемая экспонентой (2.1), является решением следующего дифференциального уравнения :

(2.3)

Следовательно, динамика апериодического звена описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальному уравнению звена (2.3) соответствует характеристическое уравнение :

Тр + 1= 0, (2.4)

корнем которого является значение

. (2.5)

Вместо дифференциального уравнения динамики звена (2.3) часто записывают так называемую передаточную функцию его :

(2.6)

т.е. отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях. Чтобы перейти от передаточной функции к дифференциальному уравнению, нужно переписать выражение (2.6) следующим образом :

(2.7)

после чего надо раскрыть скобки и произвести замену р→ dy/dt.

Переходная характеристика апериодического звена второго порядка представлена на рисунке 2.2. Проведем касательную к данной кривой в точке перегиба П и отметим три отрезка времени t_п, t₁, Т₁ ( см. рис. 2.2).

Динамика апериодического звена второго порядка описывается дифференциальным уравнением второго порядка :

, (2.8)

причем Т₁ берется непосредственно из графика переходной характеристики y(t) (см рис. 2.2), а величина определяется специальными параметрическими графиками на рисунках 2.3 и 2.4, в зависимости от t₁ и Т₁. если принять обозначения :

,

то уравнение (2.8) записывается также в виде :

(2.9)

Как видно, динамика звена второго порядка определяется двумя постоянными времени Т₁ и Т₂, причем , так как при этом корни характеристического уравнения

будут вещественными. передаточную функцию апериодического звена второго порядка по уравнению вида (2.9), разложив знаменатель на сомножители, можно записать в виде :

Кроме того, Т₃ и Т₄ можно определить из специального графика (рис.2.3), в зависимости от измеренных на кривой переходной характеристики величин t₁ и Т₁. На этом же графике также показана зависимость t_п от t₁ и Т₁. величина t_п дана для целей проверки.

Переходная характеристика апериодического звена второго порядка (рис.2.2), математически являющаяся решением дифференциального уравнения (2.8) или (2.9), записывается в виде :

. (2.10)

Это – сумма двух экспонент с разными постоянными времени Т₃ и Т₄ . Эти корни и стоят в показателях двух слагаемых экспонент в выражении переходной характеристики (2.10), точно так же как корень (2.5) стоял в показателе экспоненты апериодического звена первого порядка. Примерами такого звена являются двигатель постоянного тока при учете инерционности цепи якоря, электромашинный усилитель.

Колебательное звено обладает колебательной переходной характеристикой, показанной на рисунке 2.5. Амплитуда колебаний затухает по экспоненте (пунктирные линии на рисунке 2.5).

Рисунок 2.5 – Переходная характеристика колебательного звена

По графику переходной характеристики y(t) можно определить постоянную времени Т этой экспоненты (по двум-трем точкам верхней и нижней экспонент). Кроме того, на том же графике определяют полупериод колебаний t₁.

По отношению этих двух величин Т/t₁ на основании специального графика (см. рис. 2.6) находят величину Т₁ и вычисляют :

.

Рисунок 2.6 – График для определения параметров колебательного звена

Это дает возможность записать дифференциальное уравнение колебательного звена :

(2.11)

которое является уравнением второго порядка того же вида, что и уравнение (2.8), с той только разницей, что здесь соотношение между постоянными времени Т₁ и Т₂ иное, а именно : Т₁ < 2 ·Т₂ . Следовательно, соотношение этих двух постоянных имеет определенный физический смысл – постоянная Т₁ характеризует собой демпфирование (сглаживание) собственных колебаний звена, а постоянная Т₂ – их раскачивание. при этом корни характеристического уравнения

будут комплексными, чем и объясняется, математически, колебательное решение дифференциального уравнения вида (2.11) вместо апериодического (2.10), которому соответствовали вещественные корни. Общепринята запись передаточной функции колебательного звена в виде :

так как при звено становится апериодическим (второго порядка).

Формула для переходной характеристики колебательного звена (см. рис. 2.5) как решение уравнения (2.11) имеет вид :

,

где Т – постоянная времени затухания амплитуды колебаний;

ω – частота колебаний, причем :

Время затухания колебаний будет tс ≈ 4∙Т. При отсутствии демпфирования (Т₁ =0) дифференциальное уравнение колебательного звена (2.11) получит вид :

, (2.12)

и переходная характеристика выразится в форме незатухающих колебаний с постоянной амплитудой (см. рис.2.7,а), которые, в отличие от затухающих колебаний (см. рис.2.5), называются периодическими колебаниями :

причем характеристическое уравнение вида будет иметь чисто мнимые корни :

Идеальное интегрирующее звено представляет собой такое устройство, у которого выходная величина пропорциональна интегралу от входной величины по времени, т.е. :

, (2.13)

или, что то же самое, производная от выходной величины по времени пропорциональна входной величине :

. (2.14)

Переходной характеристикой идеального интегрирующего звена согласно (2.13) будет наклонная прямая y(t) (см. рисунок 2.7,б), так как интеграл геометрически представляет собой площадь под кривой х(t), а в данном случае (х=const=х_с) эта площадь возрастает пропорционально абсциссе t :

. (2.15)

Рисунок 2.7 – Переходные характеристики :

а – консервативного звена; б – интегрирующего звена