2.2.2. Особенности использования метода контурных токов для схем с источниками тока

Ветвь с источником тока выделяется как ветвь связи, поэтому контурный ток для этого контура равен току источника тока. Для этого контура составления уравнения не требуется. При составлении уравнений для других контуров используем общее правило с учетом известного контурного тока.

Пример 2.8. Рассмотрим рекомендованный порядок расчета на примере электрической цепи, приведенной рисунке 2.22, параметры которой J_k3 = 3 А, Е₂ = 50 В, Е₅ = 60 В, r₁ = 6 Ом, r₂ = 10 Ом, r₄ = 8 Ом, r₅ = 10 Ом, r₆ = 5 Ом.

Рисунок 2.22 – Электрическая цепь постоянного тока

1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

1. Количество ветвей – , количество узлов –.

1.2. Вычерчиваем граф схемы. Для данной схемы граф имеет вид, представленный на рисунке 2.23.

Рисунок 2.23 – Граф исходной электрической цепи

1.3. Используя граф схемы, формируем независимые (главные) контуры. При формировании первого независимого контура используем 1-ю ветвь связи, дополненную 4 и 5 ветвями дерева. Соответственно, второй главный контур состоит из ветви связи 2, дополненной 4 и 6 ветвями дерева; третий главный контур состоит из ветви связи 3, дополненной 5 и 6 ветвями дерева. Положительное направление обхода контура совпадает с направлением тока в ветви связи.

2. Составляем уравнения для определения контурных токов. Уравнения составляем для контуров, не содержащих источник тока. Контурный ток в ветви с источником тока :

=> ;

=> .

3. Подставляем числовые значения и решаем систему уравнений:

3.1. Сумма сопротивлений ветвей контуров

Ом;

Ом.

Сумма сопротивлений, принадлежащих соприкасающимся контурам

Ом;

Ом;

Ом.

Контурные ЭДС В;В.

Величины и соответственно равны:

В, В.

3.2. После подстановки цифровых данных система имеет вид

Решая полученную систему уравнений произвольным методом, определяем контурные токи:

А,

А.

3.3. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 2.22.

А;

А;

А;

А;

А.

4. Определяем напряжение на зажимах источника тока. С этой целью составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для III контура:

.

Тогда . Подставляя числовые значения рассчитанных токов, получим:

В.

5. Проверяем решение системы уравнений, составив баланс мощностей.

5.1. Мощность источников:

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность источников:

Вт.

5.2. Мощность приемников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Суммарная мощность приемников:

Вт.

5.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислений и непревышает 0,5%.

2.2.3. Матричные уравнения контурных токов

Уравнения контурных токов можно записать в матричной форме:

,

где - квадратная матрица контурных сопротивлений;

- матрица-столбец контурных токов;

- матрица-столбец контурных ЭДС, учитывающая источники напряжений и эквивалентные ЭДС от источников тока.

Матрица контурных сопротивлений может быть получена по схеме при помощи матрицы контуров:

,

где - диагональная матрица сопротивлений ветвей;

- транспортированная матрица контуров.

Рассмотрим схему, приведенную на рисунке 2.24. Направление обхода каждого контура совпадает с положительным направлением соответствующего контурного тока, а направление ветвей – с положительными направлениями токов в ветвях.

Рисунок 2.24 – Электрическая цепь постоянного тока

Граф электрической цепи, с выбранным деревом из четвертой, пятой и шестой ветви, приведен на рисунке 2.25.

Рисунок 2.25 – Граф цепи постоянного тока

В данной схеме, независимые контуры содержат контурные токи ,,, что соответствует первой, второй и третьей ветвям связи.

Матрица контуров состоит из трех строк и шести столбцов:

.

Диагональная матрица сопротивлений .

Произведение матриц иравно:

.

Квадратная матрица контурных сопротивлений

.

Матрица-столбец контурных токов .

Матрица-столбец контурных ЭДС

.

Пользуясь матрицами ,,и уравнением, можно получить систему уравнений, составленную на основании второго закона Кирхгофа для контуров, каждый из которых включает только одну ветвь связи.

Матрица токов ветвей определяется через матрицу контурных токовпо формуле.

Например, для электрической цепи (рис. 2.24):

.

Из этого матричного уравнения получаем равенства, определяющие токи ветвей через контурные токи:

; ;;;;.

Пример 2.9. Решить задачу, приведенную в примере 2.5 с помощью матричных уравнений контурных токов.

Матрица контуров В состоит из пяти строк и десяти столбцов:

.

Диагональная матрица сопротивлений

.

Произведение матриц иравно:

.

Квадратная матрица контурных сопротивлений

.

Матрица-столбец контурных токов

.

Матрица-столбец контурных ЭДС

.

Определяем матрицу контурных токов =

.

Контурные токи соответственно равны

А, А, А,

А, А.

Матрица токов ветвей определяем через матрицу контурных токов:

.

Токи в ветвях соответственно равны

А, А,А,А,А,

А, А,А,А,А.

Токи, рассчитанные в примерах 2.5 и 2.9, совпадают.