Дотична площина і нормаль до поверхні

Якщо на поверхні через деяку точку провести кілька кривих і до них у цій точці провести дотичні прямі, то всі вони будуть лежати в одній площині, яка називаєтьсядотичною площиною до поверхні у точці , а перпендикуляр до дотичної площини, який виходить з точки дотику, називаєтьсянормаллю до поверхні.

1) Якщо поверхня задана рівнянням в явній формі , тобто розв’язаним відносно, а точка дотику має координати, тоді

рівняння дотичної площини має вигляд:

;

рівняння нормалі до поверхні у точці :

.

2) Якщо поверхня задана рівнянням у неявній формі , тобто нерозв’язаним відносно, тоді

рівняння дотичної площини має вигляд:

;

рівняння нормалі до поверхні у точці :

.

Приклад 4. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у точці.

Розв’язання.

; ;

; .

Таким чином дотична площина має рівняння:

або .

Рівняння нормалі:

.

Найбільше та найменше значення функції у замкненій області

Розглянемо функцію .

Функція, обмежена і диференційована у замкненій області, досягає свого найбільшого та найменшого значення або всередині цієї області у стаціонарних точках (точках, в яких частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю), або на її границі.

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення функції

1) Знайти стаціонарні точки, розв’язавши систему рівнянь (необхідна умова екстремуму функції):

. (9.5)

2) Обчислити у стаціонарних точках значення функції.

3) Знайти найбільше і найменше значення функції на кожній лінії, що обмежує задану область.

4) Порівняти всі отримані в пп. 2) – 3) значення і визначити найбільше і найменше з них.

Приклад 5. Знайти найбільше та найменше значення функції у замкненій області:, , .

Розв’язання. Знайдемо стаціонарні точки, що належать області : ; ; . Зобразимо область (рис. 9.13). Для зручності позначимо вершини заданої області, яка маєвигляд трикутника (див. рис.9.13). Стаціонарна точка знаходиться всередині області.

Рис. 9.13

Значення функції у цій точці: .

Знайдемо найбільше та найменше значення функції на границі області . Для цього розглянемо функцію на границі. Так як границя складається із трьох ліній, то розглянемо функцію на кожній з них окремо.

Розглянемо функцію на границі. На лінії, отже

функція тут приймає вигляд:. Тобто задача зводиться до наступної: знайти найбільше та найменше значення функції від однієї незалежної змінноїна відрізку(див. розділ ІV частини І).

;

; ;.

Розглянемо функцію на границі:

;

;

; .

Розглянемо функцію на границі:

;

;

; ;

; ;.

З усіх знайдених значень найбільше та найменше значення функції:

; .

Застосування повного диференціала до наближених обчислень

Розглянемо функцію .

Величина називаєтьсяповним приростом функції в точці.

Повний диференціал першого порядку позначається так:

.

При достатньо малих і, диференціал і повний приріст функції майже не відрізняються, тому має місце наближена рівність:, яку можна використовувати при наближених обчисленнях:

. (9.6)

Приклад 6. За допомогою повного диференціала наближено обчислити

.

Розв’язання. Позначимо .

Покладемо, що ,,,.

;

; ;

; .

Отже, за формулою (9.6) маємо

.