Практичне заняття № 16-17

Тема:	Дотична площина і нормаль до поверхні. Екстремум функції двох змінних. Умовний екстремум. Метод Лагранжа знаходження точок умовного екстремуму. Найбільше та найменше значення функції у замкненій області. Похідна за напрямом. Градієнт функції. Метод найменших квадратів.
Мета заняття:	узагальнити набуті знання з теми диференціальне числення функції кількох змінних та навчити застосовувати їх при дослідженні функцій.
Зміст:	дотична площина і нормаль до поверхні; екстремум функції двох змінних; найбільше та найменше значення функції у замкненій області; похідна за напрямом; градієнт функції. Метод найменших квадратів..

1) Якщо поверхня задана рівнянням в явній формі , тобто розв’язаним відносно, а точка дотику має координати, тоді

рівняння дотичної площини має вигляд:

рівняння нормалі до поверхні у точці М₀:

2) Якщо поверхня задана рівнянням у неявній формі , тобто нерозв’язаним відносно, тоді

рівняння дотичної площини має вигляд:

рівняння нормалі до поверхні у точці М₀:

Нехай функція визначена в деякому околі точкиі неперервна в цій точці.

Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має екстремум у точці (y₀,x₀), тоді в цій точці частинні похідні або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Позначимо ,та.

Теорема (достатня умова екстремуму). Нехай функція має екстремум у точціМ₀(y₀,x₀), тоді в цій точці неперервні частинні похідні першого й другого порядку, причому та, а також враховуючи вищезазначені позначення якщо:

• якщо –М₀ є точкою максимуму функції ;

• якщо –М₀ точкою мінімуму;

• якщо , то в точціМ₀ екстремуму немає;

• якщо , то функціяв точціМ₀ можливого екстремуму, може мати екстремум, а може й не мати його, отже тоді потрібні додаткові дослідження.

Алгоритм дослідження функції на екстремум.

1. Знайти частинні похідні та.

2. Знайти критичні (стаціонарні) точки, тобто точки, в яких та().

3. Знайти другі частинні похідні другого порядку і обчислити значення частинних похідних другого порядку в стаціонарних точках

4. Знайти для кожної критичної точки М_і значення ,таза допомогою достаних умов зробити висновок чи є екстремум.

5. Знайти екстремальні точки.

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення функції

1) Знайти стаціонарні точки, розв’язавши систему рівнянь (необхідна умова екстремуму функції):

.

2) Обчислити у стаціонарних точках значення функції.

3) Знайти найбільше і найменше значення функції на кожній лінії, що обмежує задану область.

4) Порівняти всі отримані в пп. 2) – 3) значення і визначити найбільше і найменше з них.

У випадку накладання додаткових обмежень у вигляді системи рівняння для знаходження точок екстремуму складаємо функцiю Лагранжа.

Означення. Рівняння φ(x,y)= 0 називають рівнянням зв’язку.

Нехай функції u= f (x, y) та v =φ(x;y) неперервно диференційовні в околі і ранг матриці Якобідорівнює 1 у точках, що задовольняють рівняння зв’язку.

Означення. Функцію називаютьфункцією Лагранжа, параметр λ — множником Лагранжа.

Теорема. (Необхідна умова існування умовного екстремуму.) Для того щоб точка була точкою умовного екстремуму функції при рівнянні зв’язку необхідно, щоб її координати при деяких значеннях λ задовольняли систему рівнянь:

Ці умови означають, що точка є стаціонарною точкою функції Лагранжа і її координати задовольняють рівняння зв’язку.

Теорема. (Достатня умова умовного екстремуму.) Нехай функції u= f(x, y) та v =φ(x;y) подвійно неперервно диференційовні в околі точки і нехай у цій точці виконуються необхідні умови існування екстремуму функціїf(x, y) при обмеженні φ(x;y)=0.

Тоді якщо за умови

другий диференціал функції Лагранжа є додатно (від’ємно) визначеною квадратичною формою, то функціяu= f(x, y) у точці має умовний строгий мінімум (максимум).

Якщо число змiнних бiльше, нiж двi, а напрямок задається напрямними косинусами (cos α₁, cos α₂, . ., cos α_n), то похiдна в напрямку обчислюється за формулою

Означення. Величина, що характеризує напрямок зростання максимальної швидкостi змiни функцiї в точцi називається градiєнтом функцiї.

_.

Градієнтом функції в точці називається вектор з координатами і позначається .

Теорема . Якщо функція має в точці М₀ (x₀, y₀) неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом .

Означення. Похідна від функції за напрямомхарактеризує швидкість зміни функції за цим напрямом і обчислюється за формулою:

_де

Якщо , то в точцічастинні похідні дорівнюють нулю. Така точка називаєтьсякритичною.