10.3 Вимушені коливання. Диференціальне рівняння вимушених

коливань та його розв’язок

Вимушеними називаються коливання, що виникають у системі під дією періодичного зовнішнього фактору. Це може бути періодична сила, змінна напруга і т.ін.

Нехай на пружинний маятник діє періодична сила, яка змінюється по гармонічному закону з циклічною частотою Ω . Запишемо другий закон Ньютона

. Після спрощень, одержимо

. Позначивши , одержимо диференціальне рівняння вимушених коливань пружинного маятника

.

В коливальний контур увімкнено джерело змінної напруги з циклічною частотою Ω. Записуємо другий закон Кірхгофа

.

.

Позначивши

,

одержимо диференціальне рівняння вимушених електричних коливань

Видно, що обидва рівняння ідентичні. Будемо розв’язувати рівняння електричних коливань.

(10.8)

Його розв’язок складається із двох доданків . Тут– загальне рішення (10.3) рівняння (10.2) згасаючих коливань;– часткове рішення неоднорідного рівняння (10.5). Переведемо праву частину рівняння (10.5) в показову форму, додавши до неї вираз (). Одержуємо нове рівняння

. (10.8^*)

Частковий розв’язок цього рівняння має вид . Константу інтегрування А знайдемо, підставивши цей вираз в (10.8^*).

.

Після скорочення на одержимо. Тут комплексне число у знаменнику переведене із алгебраїчної форми в показову.

Модуль цього числа (10.9),

його аргумент . (10.10)

Таким чином . Знайдемошляхом виділення іздійсної частини, оскільки права частина вихідного рівняння (10.8) дійсне число.

Отже

.

Загальний розв’язок рівняння (10.8) вимушених коливань має вид

(10.11)

Він складається із двох гармонічних функцій: перша із частотою ω власних згасаючих коливань і амплітудою, яка зменшується з часом по експоненті; друга із частотою Ω зовнішнього фактору з амплітудою та початковою фазою, які не залежать від часу, але залежать від частоти Ω (див.(10.9), (10.10)). Через час приблизно амплітуда першого доданку в (10.11) практично зникає. Наступає сталий режим вимушених коливань

. (10.12)

10.4 Резонанс напруг у коливальному контурі. Резонансні криві

Резонансом називається явище різкого збільшення амплітуди вимушених коливань при зміні частоти зовнішнього фактору. Частота Ω_р, при якій амплітуда стає максимальною, називається резонансною частотою. Знайдемо її для резонансу напруги, наприклад, на конденсаторі коливального контуру. В сталому режимі напруга змінюється за законом

. (10.13)

Прийнявши до уваги (6), запишемо амплітуду напруги як функцію частоти Ω і дослідимо її на екстремум

. (10.14)

Після спрощень одержимо резонансну частоту для напруги

.(10.15)

Видно, що резонансна частота напруги не співпадає із власною частотою ω як згасаючих, так і частотою ω_о незгасаючих коливань, а менша від них.

Резонансною кривою називається залежність (10.14) амплітуди від частоти Ω. Для різних значень коефіцієнта згасання резонансні криві зображені на рис.10.4.

Знайдемо амплітуду напруги в момент резонансу, підставивши (10.15) в (10.14)

При невеликому згасанні . Одержимо

, що добротність Q показує у скільки разів напруга при резонансі більша, ніж амплітуда ε_o зовнішньої е.р.с.

Виразимо амплітуду вимушених коливань через параметри контуру L, C, R. Для цього в (10.11) підставимо .

(10.16)

Тут: Індуктивний опір котушки в колі змінного струму , (10.17)

Ємнісний опір конденсатора в колі змінного струму

, (10.18)

повний опір послідовно з’єднаних R, L і С

. (10.19)

Вираз (10.16) відображає закон Ома для змінного струму.