Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика 1229

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

460 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

ПРИКЛАД

∫

= ∫

u = x +1

= ∫

+2x

(x +1)

+ 4

du = dx

+ 4

arctg

+ c =

arctg

x + 1

+ c .

Щоб знайти інтеграли J2 , J4 необхідно у чисельнику підінтегрального виразу виділити похідну квадратного тричлена, тобто вираз 2ax + b . Далі почленно поділивши чисельник на знаменник, переходять до двох інтегралів. У першому інтегралі

замість виразу (2ax + b)dx

записують d(ax 2 + bx + c) та

отримують табличний інтеграл. Другий інтеграл – це інтеграл вигляду

J1 чиJ3 .

ПРИКЛАД

∫

5x −

dx =

(2x 2 + 4x −5)′ = 4x + 4

2x 2 + 4x −5

d(2x 2 + 4x −5) = (4x +

4)dx

= ∫

45 (4x + 4) − 54 4 −3 dx = 5 ∫

4x + 4

dx −

+ 4x

−5

+ 4x −5

−8∫

= 5 ∫

d(2x 2 + 4x −5) −8∫

2x 2 + 4x −5

2 x 2 +2x − 5

= ∫ duu = 2 u + c =

5 2 2x 2

+ 4x −5 −

u = 2x 2 + 4x −5

= ln u +

u2 − a2 + c

− 4 2 ∫

= ∫ u2 − a2

− 25

(x +1)2 −1

u = x +1

= 5	2x 2 + 4x −5 −4 2 ln x +1 + x 2 +2x − 5	+ c
2	2

4 ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Інтеграли від раціональних функцій завжди виражаються через елементарні функції.

Нехай треба знайти ∫	Pm (x )	dx ,

	Qn (x )

де Pm (x ) – многочлен степеня m , Qn (x ) – многочлен степеня n . Дріб називається правильним , якщо m < n і неправильним, коли

m ≥ n .

Якщо дріб неправильний, тоді виконавши ділення, дістанемо

	P (x )		R p (x )
∫	m	dx = ∫W k (x )dx + ∫		dx ,
	Qn (x )		Qn (x )

де W k (x )		- многочлен степеня k , k = m − n ,

R p (x ) - многочлен степеня p , p < n .

Інтеграли від W k (x ) знаходять безпосередньо, а інтеграл від

правильного раціонального дробу зводять до суми інтегралів від елементарних дробів.

Елементарними дробами є : 1)

;

, k ≥ 2 ;

x − a

− a)k

+ B

, p2 − 4q < 0 ;

x 2

+ px + q

Ax + B

, k ≥ 2 ,

p2 − 4q < 0 .

2 + px + q)k

вищої

алгебри

відомо,

що

многочлен

(x ) = a x n + a x n−1 +... + a

x + a

( a , a ,..., a

- дійсні)

n−1

можна			представити		у	вигляді
Q	n	(x ) = a (x − a)k ... (x 2		+ px + q)l , k +... +2l = n ,
			0

де квадратні тричлени у даному виразі мають від’ємні дискримінанти .

Тоді правильний раціональний дріб Pm (x ) можна представити

Qn (x )

у вигляді		Pm (x )	=		A1	+... +	Ak	+... +	B1x + C1		+... +
		Qn (x )		x − a			(x − a)k
									x 2 + px + q
+	Bl x +Cl				.
	(x 2 + px + q)l
Для		знаходження					невизначених			коефіцієнтів
A1, A2 ,..., Bl ,Cl			праву частину приводять до спільного знаменника і

прирівнюють чисельники початкового та одержаного дробу. Далі користуються методом порівняння коефіцієнтів при однакових

степенях

x або підстановкою окремих значень

x (також

можна

комбінувати ці два методи).

2x 3 +1

ПРИКЛАДИ

1) ∫

x(x 2 +1)

Маємо неправильний раціональний дріб. Тому виділимо цілу

частину, виконавши ділення ’’кутом’’.

2x 3 +1

x 3 + x

2x 3 +2x

−2x +

2x 3 +1

−2x +1

2x −1

∫

x(x

+1)

dx = ∫ 2

x(x

+1)

dx = 2x − ∫

x(x

+1)

Правильний дріб розкладемо на суму елементарних дробів.

2x −1		=	A	+	Bx +C		=	A(x 2 +1) + (Bx +C )x		=
x(x 2	+1)		x		x 2	+1		x(x 2	+1)

Ax 2

+ A + Bx 2

+Cx

( A + B )x 2

+Cx + A

x(x 2 +1)

З порівняння маємо

2x −1 = ( A + B )x 2 +Cx + A

x 2

A + B = 0

C = 2

Звідсіль маємо A = −1 , B = 1, C = 2

x 0

A = −1

2x −1

xdx

∫

dx = ∫ −

dx = −∫

+ ∫

x(x 2 +1)

x 2 +1

+2∫

= −ln

∫

d(x 2 +1)

+2arctgx =

x 2 +1

= −ln

ln( x 2 +1) +2arctgx + c

Остаточно маємо

∫

2x 3 +1

dx = 2x + ln

−

ln( x 2 +1)

−2arctgx + c

x(x 2 +1)

x+ 3

2)∫ (x −1)( x 2 −5x + 4) dx

Квадратний

тричлен

x 2 −5x + 4 має

дійсні

корені

x1 =1 , x2 = 4 . Враховуючи це, будемо мати

x +3

x + 3

−1

(x −1)2

x −4

(x −1)(x 2 −5x + 4) (x −1)2 (x − 4)

A(x −1)( x −4) + B(x − 4) +C (x −1)2

−1)2 (x − 4)

x +3 = A(x −1)(x − 4) + B(x −4) +C(x −1)2

x =1

4 = −3B

B = −4

x = 4

7 = 9C

C =

x 2

0 = A +C

A = −C = − 7

∫

x +3

dx = −

∫

−

∫

(x −1)(x 2 −

x −1

(x −1)2

−

5x + 4)

=− 79 ln x −1 + 43 x 1−1 + 79 ln x − 4 + c

5 ІНТЕГРУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ

ФУНКЦІЙ

1) ∫ R(sin x, cos x )dx ,

де R(sin x, cos x ) - раціональна функція від sin x та cos x .

Універсальна тригонометрична підстановка :

= t .

Звідки

x = 2arctgt

dx =

dt ,

+t2

sin x =

cos x

1 −t2

+t2

1 +t2

1 −t

∫ R(sin x, cos x )dx = ∫ R

dt .

ПРИКЛАД

∫

= t

= ∫

= ln

+ c = ln

+ c .

sin x

Ця підстановка завжди раціоналізує інтеграл ∫ R(sin x, cos x )dx ,

але часто приводить до раціональних дробів з великими степенями. В окремих випадках можна застосувати інші простіші методи.

∫ R(sin x ) cos xdx =

sin x = t

= dt

∫ R(t )dt

cos xdx

ПРИКЛАД

sin4 x

∫ sin3 x cos xdx

sin x = t

= ∫ t3dt =

+ c =

+ c

cos x = t

∫ R(cos x ) sin xdx =

= dt

= −∫ R(t )dt

− sin xdx

∫ R(tgx )dx =

tgx

= t , x = arctgt

= ∫ R(t )

+t2

1 +t

∫ R (sin2n x, cos2m x )dx

( n

чи

m – від’ємне)=

tgx = t , x = arctgt , dx =

+t2

cos2 x =

, sin2 x =

+t2

1 +t2

= ∫

1 +t

ПРИКЛАД

∫

tgx = t

= ∫

1 +t2

= ∫

5 − cos2 x

−

4 +5t2

1 +t2

5 t

∫

arctg

+ c =

arctg

+ c =

+ 5

2 5

				17
=	1		5 tgx	+ c .
=		arctg		+ c .
	2 5		2
	2 5		2

6) ∫ sin m x cosn x dx

, m , n - цілі числа.

а)

хоча б одне з чисел m та n непарне.

Наприклад, нехай n = 2 p + 1 .

∫ sin m x cos2 p+1 x dx = ∫ sin m x cos2 p x cos x dx =

= ∫ sin m x (1 −sin2 x ) p d(sin x ) =

sin x = t

= ∫ t m (1 −t2 ) p dt

ПРИКЛАД

∫

cos

dx =

∫

cos

x cos x

dx =

sin x = t , cos xdx

= dt

cos

x =1 − sin

x =1 −t

sin4 x

1 −t2

= ∫

dt =

∫

−

dt = −

+ c

3t3

= −

+ c

sin x

3 sin3 x

б)

m , n – невід’ємні парні числа.

Тоді застосовують формули зниження степеня

sin2 x

1 − cos 2x

cos2 x =

1 + cos 2x

Знижують степінь необхідну кількість разів.

ПРИКЛАД

1 − cos 2x 2

∫ sin4 x dx = ∫

dx =

∫ (1 −2 cos 2x + cos2 2x )dx =

x −

sin 2x +

∫

1 + cos 4x

dx =

x −

sin 2x +

+ 18 (x + 14 sin 4x ) + c = 38 x − 14 sin 2x + 321 sin 4x + c

в) m , n - парні, одне з чисел від’ємне.

Застосовують підстановку tgx = t (цей випадок розглянуто вище ).

7) ∫ cos mx cos nx dx , ∫ sin mx cos nx dx , ∫ sin mx sin nx dx .

Для одержання табличних інтегралів виконують перехід від добутку тригонометричних функцій до суми (різниці) тригонометричних функцій за формулами

cos mx cos nx =					1		(cos( m + n)x + cos( m − n)x )
cos mx cos nx =			2				(cos( m + n)x + cos( m − n)x )
			2
sin mx cos nx =				1			(sin( m + n)x + sin( m − n)x )
sin mx cos nx =			2				(sin( m + n)x + sin( m − n)x )
			2
sin mx sin nx =			1			(cos( m − n)x − cos( m + n)x )
sin mx sin nx =			2			(cos( m − n)x − cos( m + n)x )
			2						ПРИКЛАД
								1	ПРИКЛАД
∫ sin 6x cos 8x dx =								1	∫ (sin14x + sin( −2x ))dx =
∫ sin 6x cos 8x dx =									∫ (sin14x + sin( −2x ))dx =
	1						2			1		1
=	1	∫ (sin14x −sin 2x )dx = −								1	cos14x +	1	cos 2x + c
=		∫ (sin14x −sin 2x )dx = −									cos14x +	4	cos 2x + c
2							28					4

6 ДЕЯКІ ІНТЕГРАЛИ ВІД ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

1.Інтеграли виду ∫ R(x, x n ,..., x s ) dx

раціоналізуються підстановкою	x = t k ,
де k - спільний знаменник дробів	m	,... ,	r	.
	n
			s

2. Інтеграли виду ∫

+ b n

ax + b s

R x,

,... ,

+ d

cx + d

ax + b

раціоналізуються підстановкою

= t k

cx + d

де k - спільний знаменник дробів

,... ,

ПРИКЛАДИ

x = t

, dx

R(x 3 , x 2 )dx =

∫ 3 x + x

∫

x 3 = t2 , x 2 = t3

= ∫

6t5dt

= 6∫

t3dt

= 6∫ (t2

−t +1 −

) dt =

2 +t3

t +1

6 x = 2 x −33 x + 66 x −

= 6 (

3 −

2 − ln t +1 ) + c = t =

− 6 ln ( 6 x +1) + c .

x dx

2x +1 = t2

2) ∫

∫ R(x,(2x +1)2 ) dx =

t2 −1

2x +1 +1

x =

, dx = tdt

t2 −1

= ∫

tdt

∫ (t −1)tdt

∫ (t2 −t ) dt =

−

+ c =

2(t +1)

= t = 2x +1 =

(2x +1)3 −

(2x +1) + c

3. Інтеграли

виду

∫ R ( x,

ax 2 + bx + c ) dx

за

допомогою

підстановки x = t −

зводяться до одного з інтегралів:

1)∫ R ( t , t2 − m2 ) dt

2)∫ R ( t , t2 + m2 ) dt

3)∫ R ( t , m2 −t2 ) dt

Востанніх інтегралах можна позбавитись ірраціональності за допомогою відповідних тригонометричних підстановок:

t =

(або t =

t2 − m2

m sin z m cos z

) ;

cos z

sin z

cos z

sin z

t = m tgz

( t

= m ctgz ) ;

t2 + m2

cos z

sin z

t = m sin z

( t = m cos z

)

;

m2 −t2 = m cos z (m sin z) .

ПРИКЛАД

= 3tgt , x 2

+ 9 =

∫

cos t

= ∫

cos

9tg2t

+ 9

dx = cos2 t

cos t

∫

cos t

dt =

∫

d(sin t )

= −

+ c =

sin2 t

9 sin t

sin2 t

sin t =

tgt

, tgt = x

1 +tg

+ 9

+ c

= −

sin t =

x 2

+ 9

1 + (3 )

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.20192 Мб28Мартемьянов В.С. Хозяйственное право. Том 1.doc
#
07.02.2016172 Кб8Маршрутная карта.doc
#
18.07.2019125 Кб5Массовые репрессии и политические процессы 20-х....doc
#
07.02.2016588 Кб13матанчик 4 идз.pdf
#
07.02.20161 Мб9математика 1227.pdf
#
07.02.2016460 Кб8математика 1229.pdf
#
07.02.2016530 Кб7математика 1874.pdf
#
07.02.2016476 Кб9МАТЕМАТИКА 2Ч.pdf
#
07.02.2016309 Кб16математика 3700.pdf
#
07.02.2016595 Кб716математика 3701.pdf
#
07.02.20163 Мб15Математика задания(30 вариантов).doc