Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика 1229

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

460 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

′2 (t ) + y′2 (t ) dt

L = 4 ∫

x ′2 (t ) + y′2 (t ) = (−3a cos2 t sin t )2 + (3a sin2 t cos t )2 =

= 9a2 cos

2 t sin2 t(cos2 t + sin2 t ) =

a2 sin2 2t

L = 4 ∫

a sin 2t dt = 6a(−

cos 2t )

= −3a(−1 −1)

= 6a.

9.3 Площа поверхні обертання

а) Нехай поверхня утворена обертанням лінії y = f (x ), x [a, b]

навколо осі OX. Тоді площа поверхні дорівнює

Q = 2π ∫ f (x ) 1 + f ′2(x ) dx

б)

Якщо

лінія,

що

обертається

навколо

осі OX

задана

параметрично:

x = x(t )

t1 ≤ t ≤ t2 . В цьому

випадку

площа

y = y(t )

поверхні обертання обчислюється за формулою

2(t ) + y′2(t ) dt

Q = 2π ∫ y(t ) x ′

в)

Якщо

крива,

яка

задана в

полярній системі

координат

ρ = ρ(ϕ ),α ≤ϕ ≤ β , обертається навколо полярної вісі, то площа

поверхні обертання буде дорівнювати

Q = 2π ∫ ρ(ϕ ) sin ϕ ρ′2 (ϕ ) + ρ2 (ϕ ) dϕ

ПРИКЛАДИ

1) Лінія y = x , 0 ≤ x ≤ 1 Знайти площу поверхні обертання.

Р о з в’ я з а н н я.

= 2π ∫

обертається навколо осі OX.

		1			1		2
Q = 2π ∫ x 1 +							dx =
		0		2		x
		0
			1		+	1
		= 2π ∫		x (1	+	4x	) dx =
			0			4x
			0
	1			2		1		3	1
x +	1	dx	=2π	2		1		2	=
x +	4	dx	=2π	x +		4			=
	4			3		4			0
									0

	4π		5		3		1	3		π	(5 5	−1)
=	4π		5		2		1	2	=	π
=						−			=
	3			4			4			6
	3			4			4			6

2)		Лінія				x	= a cos t				, 0 ≤ t ≤ 2π (коло з радіусом a )
2)		Лінія					= a sin t				, 0 ≤ t ≤ 2π (коло з радіусом a )
						y	= a sin t

обертається навколо осі абсцис. Знайти площу поверхні обертання.

Р о з в’ я з а н н я.

Враховуючи симетрію, площа поверхні дорівнює

Q = 2 2π ∫ a sin t (a cos t )′2 + (a sin t )′2 dt =

= 4π a2 ∫ sin t dt = 4π a2 (− cos t )

2 = 4π a2

9.4 Об’єм тіла обертання

а) Для тіла утвореного обертанням навколо осі OX криволінійної трапеції, обмеженої лініями y = f (x ), x = a, x = b , y = 0 об’єм тіла дорівнює

V = π ∫ f 2 (x ) dx

Якщо ця трапеція обертається навколо осі OY то об’єм обчислюється за формулою

V = 2π ∫ x f (x ) dx

	a
Якщо тіло утворено	обертанням	криволінійної	трапеції
x =ϕ ( y ) , y = c , y = d , x = 0	навколо	осі OY , то	об’єм тіла
обчислюється формулою

V = π ∫ϕ 2( y ) dy

б) Випадок параметричного способу завдання кривої :

x	= x (t )	t1	≤ t ≤ t2 .
	= y(t )	t1	≤ t ≤ t2 .
y	= y(t )
Якщо крива обертається навколо осі OX, то об’єм тіла обертання
дорівнює			t2
			t2	2	′
			V = π ∫ y	2	′
			V = π ∫ y		(t ) x (t ) dt

t1
Якщо крива обертається навколо осі OY, то
t2	2	′
V = π ∫ x	2	′
V = π ∫ x		(t )y (t ) dt
t1

в) Випадок полярної системи координат.

Якщо	крива ρ = ρ ( ϕ ) , α ≤ ϕ ≤ β				обертається навколо
				2		β
полярної вісі то об’єм тіла обертання			V =	2	π	∫ ρ3(ϕ ) sin ϕ dϕ
полярної вісі то об’єм тіла обертання			V =	3	π	∫ ρ3(ϕ ) sin ϕ dϕ
				3		α
		ПРИКЛАДИ
1) Обчислити		об’єм тіла, утвореного				обертанням лінії
y = sin x	, 0 ≤ x ≤ π	навколо осі OX .

Р о з в’ я з а н н я.

− cos 2x

V = π ∫ sin2 x dx = π ∫

dx =

(x −

sin 2x )

π =

π 2

2) Тіло

утворено

обертанням

кардіоїди

ρ = 2a(1 + cos ϕ )

, 0 ≤ ϕ ≤π

навколо полярної

вісі. Обчислити

його об’єм.

Р о з в’ я з а н н я.

V =

∫ (2a)3 (1 + cos ϕ )3 sin ϕ dϕ =

16π a3

= −

∫ (1 + cos ϕ )3 d(1 + cos ϕ ) =

= −

16π a3 (1 + cos ϕ )4

= −

4π a3

((1 + cos π )4

− (1 + cos 0)4 ) =

= −

4π a3

(−2

4 ) =

64π a3

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

3.1 Знайти інтеграл за допомогою введення функції під знак диференціала.

1.	∫		dx
		x ln 2x

2.	∫		sin 4x			dx
		3 cos 4x
3.	∫	cos ln x			dx

			x
4.	∫		tg 4 7x			dx

		cos2 7x
5.	∫		arcsin x dx
			1 − x 2
			x
6.	∫		e	dx
			1 + ex

7.∫ 4 arctg2x dx

1+ 4x 2

8.∫ e7x 2 +8x dx

9.		dx
9.	∫ (3x −9)10
	∫ (3x −9)10
10.	∫ 3x dx
		1 − 9x
11.	∫ 2x 2 x dx

16.	∫ arccos 3 2x dx
					1 − 4x 2
17.	∫				ctg	35x			dx
17.	∫			sin2		5x			dx
				sin2		5x
18.	∫ sin6 3x cos 3x dx
19.	∫ e			x	3 +1		2	dx
19.	∫ e					x		dx
20.	∫		arctg 4 8x						dx
20.	∫		1 + 64x 2						dx
			1 + 64x 2
21.	∫					dx
21.	∫	cos2 x 7 tg3x
		cos2 x 7 tg3x
22.	∫						dx
22.	∫	(x + 4) ln2 (x + 4)
		(x + 4) ln2 (x + 4)
23.	∫				x dx
				2 + x 2
24.	∫ ecos 3x sin 3x dx
25.	∫					dx
25.	∫			1 − x 2 arcsin x
				1 − x 2 arcsin x
26.	∫				ex dx
					e2x +1

12.

∫

x dx

27.

∫

cos x dx

+ x 4

(sin x +8)5

13.

∫

x 2dx

28.

∫

x dx

x 6 +16

3x 2 +2

14.

∫ cos x

29.

∫ arcsin 8 3x dx

1 − 9x 2

∫

3 ln4 (x

−5)

∫

5x +10 8

15.

x −

30.

3.2 Знайти інтеграли від функції, що містить квадратний тричлен.

∫

2x −1 dx x 2 −6x +8

x dx

4 +8x − x 2

3x +1		dx
x 2 −4x −2
x −3		dx

2x 2 −4x −1
2x −1		dx
3 + x −2x 2


x −1		dx
3x 2 − x +5		dx
3x 2 − x +5
2x + 4
	dx
3x 2 + x −5	dx

16.∫

17.∫

18.∫

19.∫

20.∫

21.∫

22.∫


5x +8		dx
2x 2 + x +5

5x
	dx
3x 2 +5x +1
x −1		dx
3x 2 − 9x + 6

5x +3
	dx
2x 2 −6x +1
3x +2		dx
x 2 − 6x +8

11x −7
	dx
2x 2 −2x +1
6x +5			dx
3x 2 −12x +3

8.	∫				x +5			dx
8.	∫							dx
					3 −6x − x 2
9.	∫				2x +1		dx
9.	∫	1			+ x −3x 2		dx
		1			+ x −3x 2
10.	∫				2x −10			dx
					1 + x − x 2
11.	∫				7x −2		dx
11.	∫		x 2 −5x +			1	dx
			x 2 −5x +			1
12.	∫				x −18				dx
12.	∫				4x 2 + x	−5			dx
					4x 2 + x	−5
13.	∫				3x + 7			dx
13.	∫			2 +3x − x 2				dx
				2 +3x − x 2
14.	∫				2x +3				dx
14.	∫				2x 2 − x	+ 6			dx
					2x 2 − x	+ 6
15.	∫				3x − 9		dx
15.	∫		x 2 − 6x +			1	dx
			x 2 − 6x +			1

23.∫

24.∫

25.∫

26.∫

27.∫

28.∫

29.∫

30.∫

12x −9	dx
x 2 −5x +	8
x +3	dx
	dx
2x 2 + x +2
2x −1	dx
x 2 − x +1


2x − 7		dx
4 +2x − x 2
x −1
	dx
2x 2 +3x +1
3x + 4		dx
2 +5x − x 2

x −5		dx
2x 2	+ x − 4
4x +1		dx
x 2	+ x +2

3.3 Інтегруванням частинами знайти інтеграл.

1.	∫ ln x dx			16.	∫ arcsin x dx
		x				x +1
2.	∫ arcsin 2x dx			17.	∫ x sin2 x dx
3.	∫ xarctgx dx			18.	∫	ln x	dx

		x				x 3
4.	∫		dx	19.	∫ arccos			1	dx
		sin2 x
								x

5.∫ x ln 11 +− xx dx

6.∫ x 2arctgx dx

7.∫ (x 2 + x )e−x dx

8.∫ x 2 cos x3 dx

9. ∫ x ln2 x dx

10.∫ (x +1)2 sin x dx

11.∫ x 2 arcctgx dx

12.∫ (x 2 +8) e2x dx

13.∫ (sin 5x −2)x 2dx

14. ∫ cos2 x dx

15. ∫ ln(sin x ) dx sin2 x

20. ∫ x arcsin x dx

1 − x 2

21. ∫ ln cos x dx cos2 x

22.∫ x arctg x dx

23.∫ x 2 sin 2x dx

24.∫ (x 2 − 4) ex dx

25.∫ ln 22 −+ xx dx

26.∫ (x 2 +3x ) e−4x dx

27.∫ x 2 (cos 2x +3)dx

28.∫ ln2 x dx

29.∫ x arctgx dx

1+ x 2

30.∫ (2x − 7) cos x5 dx

3.4 Знайти інтеграл від дробово-раціональної функції.

∫

x 3

16.

∫

x 2 −3

x 3 − x 2

x 2 (x 2 −1)

∫

3x 2 +1

17.

∫

x 2 +1

(x −1)( x 2

−1)

x 3

−5x 2

+ 6x

∫

6x 4

18.

∫

x 3

+3x 2

(x 2

−1)( x +2)

x 3 −1

∫

2x 2 −26

(x 2 + 4x +3)(x +

∫

36dx

(x +2)( x 2 −2x +10)

∫

2x 2 − 7x +10

(x −1)( x 3 − x 2 + 4x − 4)

∫

x 3 −2x + 4

x 4 −1

∫

x 3 − x −1

x 4 − x 2

∫

4x 4 +8x 3 −1

(x 2 + x )(x +1)

10. ∫

x 3 + x 2

11. ∫

x 3 − 4x +5

(x 2 −1)( x −1)

12. ∫

4x 2

(x 2 −2x +1)(x +1)

13. ∫

x − x 2

(x −2)2 (x +3)2

14. ∫

x 3 +1

(x −1)( x −2)( x −

15. ∫

x 2 −6x +8

x 3 +8

19.	∫		x 2	dx
		x 4	+5x 2 + 4

20.	∫	x 5 − x 3 + x 2		dx

			x 4 −1
dx 21.	∫		9x − 9		dx
		(x	+1)(x 2 − 4x +13)

22.∫ 2x 3 −2x −5 dx

x4 +3x 2 −4

23. ∫	2x 3 +1	dx

	x 2 (x +1)

24.∫ x 3 −4x 2 +2x −1 dx

x3 − x 2

25.

∫

3x 2 +1

(x 2 −1)3

26.

∫

(x −2)2 (x 2

− 4x +5)

27.

∫

5x 2 + x

x 3 (x 2 +1)

28. ∫

x 4dx

− x − x 2 )(x +3)(x +5)

29.

∫

(3x −8)dx

(x 2 −2x +1)( x 2 + 4)

30.

∫

4x 4 +8x 3 − x −2

x(x +1)2

3.5 Знайти інтеграл від тригонометричної функції.

∫

16.

∫

cos4 x

2 sin x

− cos x +5

sin3 x

∫

17.

∫

sin 2x

sin x cos3 x

+sin4 x

∫

sin 2x

18.

∫ tg5x dx

cos3 x

∫ cos4 x dx

19.

∫

sin x + cos x +1

∫

3tgx −1

20.

∫

sin2 x

+ 4 cos2 x

sin4 x cos4 x

∫

21.

∫

5 + 4 sin x

sin2 x +tg2 x

∫

1 +tgx

22.

∫ cos 3x cos 4x dx

1 −tgx

∫

23.

∫

1 + sin

2 x

16 sin2 x

−8 sin x cos x

∫ sin x sin 3x dx

24.

∫

sin x(2 + cos x −2 sin x )

10.

∫

25.

∫

sin2 x

−4 sin x cos x +5 cos2 x

+3 cos2x

11.

∫

2 − sin x

26.

∫ sin2 x cos4 x dx

2 + cos x

sin2 x

12. ∫ 1 +2 sin2 x dx

13. ∫ cos 2x −sin 2x

27. ∫ 3 −2 sin2 x

28. ∫ cos5 x dx sin4 x

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.20192 Мб28Мартемьянов В.С. Хозяйственное право. Том 1.doc
#
07.02.2016172 Кб8Маршрутная карта.doc
#
18.07.2019125 Кб5Массовые репрессии и политические процессы 20-х....doc
#
07.02.2016588 Кб13матанчик 4 идз.pdf
#
07.02.20161 Мб9математика 1227.pdf
#
07.02.2016460 Кб8математика 1229.pdf
#
07.02.2016530 Кб7математика 1874.pdf
#
07.02.2016476 Кб9МАТЕМАТИКА 2Ч.pdf
#
07.02.2016309 Кб16математика 3700.pdf
#
07.02.2016595 Кб716математика 3701.pdf
#
07.02.20163 Мб15Математика задания(30 вариантов).doc