26. Семантика можливих світів: модальні моделі, відношення досяжності.

Фундатор теорії «можливих світів» – Г.Лейбніц. Саме він, досліджуючи природу істини розуму та істини факту, звертається до поняття «можливий світ». Трактовка Г.Лейбніцем «можливого світу» переобтяжена гносеологічним змістом. Це наклало відповідний відбиток при визначенні необхідного висловлювання як істинного у всіх можливих світах, а можливого – хоча б в одному.

У сучасній логіці «можливий світ» розглядається як теоретико-множинне поняття. Навіть тоді, коли ми говоримо, що дескриптивне висловлювання співставляється для визначення його значення з дійсністю, реальним станом справ, то мається на увазі не реальна дійсність, яка є незалежною від суб’єкта, що пізнає, а «істина» не як тотожність мислення і буття, а «хиба» як спотворене відображення дійсності, а маються на увазі теоретико-множинні поняття «належності», чи «не належності» елемента до множини, «включення» чи «не включення» однієї множини в іншу. Тим більше це стосується «можливогосвіту».

Оскільки, можливі світи моделюють різні обставини, альтернативні стани справ, різноманітні гносеологічні стандарти, припустимі і неприпустимі норми, оцінки відносно якогось випадку чи умови, то кожен можливий світ розглядається як елемент деякої множини можли-

вих світів.

Між можливими світами існує відношення досяжності, яке також має теоретико-множинний смисл. Це не відношення співставлення, яке має місце між дескриптивними висловлюваннями і реальним (дійсним) світом, а відношення обстеження перегляду множини можливих світів, які якимось чином зв’язані, стосуються реального світу.

Відношенню досяжності (альтернативності) притаманні такі властивості, як:

 рефлексивність,

 симетричність,

 транзитивність.

Якщо позначити можливі світи символами w1, w2, w3, …

wn, а відношення досяжності – R, то названі властивості

можна записати так:

1. w R w – рефлексивність;

2. w R w1 → w2 R w – симетричність;

3. (w R w1 ∧ w1 R w2) → w R w2 – транзитивність.

27. Мова логіки часу.

Мова темпоральної логіки висловлювань складається із засобів мови класичної логіки висловлювань і доданих до них знаків темпоральних модальностей.

Алфавіт

1. Пропозиційні змінні для позначення дескриптив-

них висловлювань:

p, q, r, …

2. Пропозиційні зв’язки (константи): , ∧, ∨, ⊃, ∾.

3. Знаки темпоральних модальностей:

Р – «було так, що …»

F – «буде так, що …»

H – «завжди було так, що …»

G – «зажди буде так, що …»

4. технічні знаки, якими є ліва та права дужки, кома,

кома з крапкою, двокрапка, тире: (.),; : –

Дефініція формули:

1. Будь-яка пропозиційна змінна – формула.

2. Якщо А і В формули, то А, А ∧ В, А ∨ В, А ⊃ В,

А ∾ В, PА, FА, HА, GА – формули.

3. Ніщо, крім вказаного в пунктах 1, 2 дефініції, не є

формулою.

Наведена дефініція є ефективною.

Так, вирази Hр⊃ р, р⊃Fр, HFр⊃ р, H(р ⊃q)∾(Hр⊃ Hq) є формулами, а вирази р ⊃H ∨ F, Pq⊃, рH∨ р формулами не будуть. Використовуючи мову темпоральної пропозиційноїлогіки, запишемо

Основні закони часової логіки

1. Gр⊃Fр

(«Якщо після зими завжди наступатиме весна то, так воно і буде».)

2. Hр⊃Pр

(«Якщо завжди гіпотеза, яка підтверджувалася практично, перетворювалася в теорію, то так воно і було».)

3.  (Fр∧Fр)

(«Невірно, що буде ясна погода і хмарна».)

4.  (Pр∧Pр)

(«Невірно, що вирок був обгрунтованим і необгрунтова-

ним».)

5. FFр⊃Fр

(«Якщо буде, що буде позитивний результат, то він буде».)

6.  HGр⊃ р

7. FPр ≡ р ∨Fр∨Pр

(«Буде так, що був успіх «київського Динамо», тільки

якщо він є, або буде, або уже був».)

8. HGр ≡ р ∧Hр∧Gр

(«Завжди було, що завжди в цю пору року, в цій місцевості настане гарна погода, тоді і тільки тоді, якщо вона є, завжди була і завжди буде».)

Застосовуючи засоби мови темпоральної логіки висловлювань, визначимо темпоральні модальності одну через іншу.

а) Gр ≡ Fр

(«Завжди буде «р», тоді і тільки тоді, коли не буде «не р». «Завжди в цю пору року, в цій місцевості буде ясна погода, тоді і тільки тоді, коли в цю пору року в цій місцевості не буде хмарної погоди».)

б) Fр ≡ Gр

(«Буде «р», тоді і тільки тоді, коли не завжди буде «не р». «Буде ясна погода, тоді і тільки тоді, коли не завжди буде хмарна погода».)

в) Hр ≡ Pр

(«Завжди була «р», тоді і тільки тоді, коли не було «не р». «Завжди був позитивний результат чемпіонату, тоді і тільки тоді, коли не було жодного випадку негативного результату».)

г) Pр ≡ Hр

(«Було «р», тоді і тільки тоді, коли не завжди було «не р». «Був позитивний результат експерименту, тоді і тільки тоді, коли не завжди був негативний».)

За допомогою темпоральних модальностей можна визначити алетичні модальності:

а) _р ≡ р ∧Gр

(«р» є необхідним, тоді і тільки тоді, коли «р» є і завжди буде». «Необхідною ознакою металу є електропровідність, тоді і тільки тоді, коли вона є і завжди буде».)

а’) _р ≡ Hp∧ p ∧Gp

(«р» є необхідним, тоді і тільки тоді, коли «р» завжди було, є і завжди буде». «Необхідно, що студенти повинні складати іспити, тоді і тільки тоді, коли завжди так було, є і завжди так буде».)

б) ◊р ≡ р ∨Fр

(«р» є можливим, тоді і тільки тоді, коли «р» є або буде». «Перемага нашої команди в чемпіонаті можлива, тоді і тільки тоді, коли вона є або буде».)

б’) ◊р ≡ Pр∨ р ∨Fр

(«р» можливо, тоді і тільки тоді, коли було «р», або є, або буде». «Можливо є поїздка до Варшави, тоді і тільки тоді, коли це було, або є, або буде».)