§2.4. Теория подобия в гидромеханике

Для изучения сложных гидродинамических явлений прибегают к модельному эксперименту. Результаты таких экспериментов могут быть перенесены на натуру лишь тогда, когда явления при моделировании и в натурных условиях подобны. Различают три вида подобия: геометрическое, кинематическое и динамическое.

Для геометрического подобия требуется, чтобы отношение сходственных линейных размеров натуры L₁ и модели L₂ было равно постоянной величине

L₁/ L₂ = S₁^1/2/ S₂^1/2 = V₁^1/3/ V₂^1/3 = C_l,

где S₁, S₂ - сходственные площади натуры и модели; V₁ ,V₂ -сходственные объемы натуры и модели; C_l - постоянная геометрического подобия.

Кинематическое подобие возможно, если отношение промежутков времени, в течение которых сходственные точки описывают геометрически подобные отрезки траекторий, равно постоянной величине и, кроме того, выполняется геометрическое подобие натуры и

модели. Кинематическое подобие характеризуется двумя постоянными подобия - геометрической C_l и времени C_t = t₁/ t₂; все остальные его постоянные являются производными от указанных двух. Например, для отношения скоростей и ускорений можно записать:

υ₁/ υ ₂ = C_υ = C_l / C_t ; α₁/ α ₂ = C _α = C _υ / C_t = C_l / C_t² = C_υ²/ C_l

При динамическом подобии требуется, чтобы отношение сходственных сил и натуры и модели было равно постоянной величине. Для выполнения этого условия достаточно, чтобы при наличии кинематического подобия отношение сходственных масс натуры и модели было равно постоянной величине С_m:

С_m = m₁ / m₂ = ρ₁V₁/ ρ₂V₂ = C_ρ C_l³

где ρ₁, ρ₂ - плотности сходственных объемов натуры и модели;

С_m, C_ρ, C_l - постоянные подобия.

Для отношения сходственных сил можно записать:

F₁/F₂ = m₁ α₁ / m₂ α₂ = C_ρ C_l³ C_υ ² / C_l = C_ρ C_l² C_υ ²,

Откуда следует общий закон механического подобия:

F₁/ ρ₁ υ₁² S₁ = F₂ / ρ₂ υ₂² S₂ .

Поэтому любое механическое усилие в жидкости можно представить в виде:

F = 0,5 ζ ρ υ² S,

где ζ - безразмерный коэффициент силы, который одинаков для динамически подобных явлений.

Кроме общих условий динамического подобия для сил, обусловленных вязкостью жидкости, должно соблюдаться равенство чисел Рейнольдса (подобие по Рейнольдсу)

υ₁ L₁/ ν₁ = υ₂ L₂/ ν₂ = Re

(ν₁,ν₂ - кинематические вязкости жидкостей, в которых испытываются натура и модель), а для сил обусловленных весомостью жидкости - равенством чисел Фруда (подобие по Фруду)

υ₁ /= υ₂ /= Fr.

§2.5. Основы теории крыла

Гребные винты, рули, и другие судовые устройства имеют общий принцип действия, рассматриваемый в теории крыла. Для изучения работы этих устройств необходимо иметь представление о силах, действующих на крыло при движении.

Геометрические характеристики крыла определяются (рис.5.):

- площадью крыла Fи формой проекции крыла в плане;

- длиной (размахом) крыла l- размером крыла в направлении,

перпендикулярном набегающему потоку;

- профилем крыла - сечением крыла плоскостью, перпендикулярной его размаху;

- хордой крыла b(шириной крыла) – отрезком прямой, соединяющей крайние точки профиля; при переменной по размаху крыла хорде вводится понятие средней хорды:

b_ср =F/l;

- максимальной толщиной профиля t– расстоянием между крайними точками профиля перпендикулярно хорде.

Часто пользуются безразмерными геометрическими характеристиками крыла:

- удлинением (относительным размахом) крыла λ = l/b_ср=l²/Fили (для прямоугольного крыла) λ =l/b;

- относительной толщиной = 100t/b- отношением наибольшей толщины профиля к длине хорды.

Рис.5. Геометрические характеристики крыла

Гидродинамические характеристики крыла (рис.6.) определяются его геометрией и углом α между хордой профиля крыла и направлением скорости движения его, называемым углом атаки. Поток, набегающий на крыло со скоростью υ под углом атаки α, на верхней поверхности крыла ускоряется, а на нижней - замедляется. Согласно уравнению Бернулли, на нижней поверхности создается повышенное давление, а на верхней - пониженное. Кроме сил давления, на движущееся в вязкой жидкости крыло действуют касательные силы трения. Силы гидродинамического давления и касательные силы трения приводятся к главному вектору гидродинамических сил Р.

Рис.6. Схема действия потока жидкости на крыло

Спроектировав главный вектор на направление движения и перпендикулярное ему направление, получим силу профильного Р_x и подъемную силу крыла Р_у:

Р_x= Рcos(Р, x); Р_у= Рcos(Р,y).

Также можно определить составляющие силы Р направленных по нормали и по касательной к крылу. Нормальная составляющая силы Р:

Р_n= Р_y cosα + Р_хsinα;

Тангенциальная составляющая силы Р:

Р_t= Р_xcosα - Р_ysinα;

Точка приложения силы Р называется центром давления. Центр давления отстоит от передней кромки крыла на расстоянии х_р. Момент относительно передней кромки крыла М = Р_nх_р.

Отношение подъемной силы крыла к его сопротивлению называется коэффициентом гидродинамического качества крыла

К = Р_y/ Р_х= С _y/ С_х.

Коэффициент обратного качества ε = Р_х/ Р_y.

В соответствии с общей формулой для гидродинамических сил определяется силы и моменты, действующих на крыло при движении:

Р_y = 0,5 С _y ρυ²F; Р_x = 0,5 С _x ρυ²F;

Р_n = 0,5 С _n ρυ²F; Р_t = 0,5 С _t ρυ²F;

M= 0,5 С _m ρυ²Fb,

где С_y, С_x, С_n, С_t, С_m - безразмерные коэффициенты подъемной силы, сопротивления, нормальной силы, касательной силы и момента. Отношение абсциссы центра давления крыла к длине хорды х_р/b= С _р, называется коэффициентом центра давления крыла, тогда

С _m = С _nС _р.

Безразмерные коэффициенты определяют гидродинамические характеристики крыла. Обычно задают независимые коэффициенты: С_y, С_x , С_m (С_р), так как остальные коэффициенты являются зависимыми.

Для данного крыла коэффициенты С_y,С_x, С_n,С_t, С_р,С_m , К(ε) зависят от угла атаки α, чисел РейнольдсаRe, ФрудаFr, а также от условий движения крыла (в безграничной жидкости, вблизи свободной поверхности жидкости, кавитации и т.п.). Они определяются теоретическим или чаще экспериментальным путем, поэтому для геометрически подобных крыльев они задаются в функции от угла атаки при установившемся обтекании потоком жидкости с некоторым числомRe. Значения гидродинамических коэффициентов крыла, в общем случае завися от числаRe, однако, при обтекании крыла без кавитации безграничным потоком несжимаемой жидкости с числомRe> (1,31,5) 10⁶коэффициенты оказываются в автомодельной области и их можно считать независимыми отRe.

На рис.7. приведены кривые зависимости гидродинамических характеристик крыла от углов атаки. Из рисунка видно, что коэффициент подъемной силы с увеличением угла атаки вначале возрастает, а затем, достигнув максимума при так называемом критическом угле атаки α_кр, начинает резко падать. Для симметричного профиля подъемная сила становится равной нулю при нулевом угле атаки, для несимметричного -при значениях α, отличных от нуля. Угол атаки, при котором С_y обращается в нуль, называютуглом нулевой подъемной силы α₀, а угол α_i= α + α₀-гидродинамическим углом атаки. Направление потока, соответствующее углу α₀, называетсянаправлением нулевой подъемной силы.

Рис.7. Кривые зависимости гидроди-намических характеристик крыла от углов атаки

Из рис.7. следует, что существует такое значение угла атаки, при котором коэффициент обратного качества минимальный. Этот угол называют наивыгоднейшим углом атаки α_орt.

На гидродинамические характеристики крыла сильно влияют границы потока (рис.8). Влияние твердой стенки под крылом приводит к увеличению коэффициента его подъемной силы, а по мере уменьшения погружения крыла к заметному снижению величины С _y.

Рис.8. Графики влияния твердой стенки и свободной поверхности жидкости на С _y прямоугольных крыльев.