практикум по элементарной математике

Тема 2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Правила сокращенного умножения

1.a2 −b2 =(a −b)(a +b)

2.(a +b)2 = a2 + 2ab +b2

3.(a −b)2 = a2 −2ab +b2

4.a3 −b3 =(a −b)(a2 + ab +b2 )

5.a3 +b3 =(a +b)(a2 −ab +b2 )

6.(a +b)3 = a3 +3a2b +3ab2 +b3

7.(a −b)3 = a3 −3a2b +3ab2 −b3

8.(a +b +с)2 = a2 +b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Разложение квадратного трехчлена на множители

2.1Разложить многочлен на множители

a3 −4a;

Вынесите общий множитель за скобку:

a3 −4a =_______________________=

Примените формулу разность квадратов: =__________________________________________

Ответ:

11

2.2Разложить многочлен на множители

x5 +8x2;

Вынесите общий множитель за скобку:

x5 +8x2 =_______________________=

Примените формулу сумма кубов: =___________________________________________

Ответ:

2.3 Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые

(3 −2x)(x2 + x +1);

Выполните умножение каждого члена первой скобки на каждый член второй скобки:

(3 −2x)(x2 + x +1)=_________________________________=

Приведите подобные (одночлены с одинаковой буквенной частью):

=

__________________________________________

Многочлен в ответе запишите в стандартном виде, т.е. по убыванию степени.

___________________________________________

Ответ:

2.4Сократить дробь

a2 −6a +5 ; a −1

Найдите дискриминант квадратного трехчлена:

D= _______________________________________ и его корни :

a1 = ________________________________

a2 =________________________________

Используйте разложение квадратного трехчлена на множители

a2 −6a +5 = __________________________

сократите дробь:

12

Ответ:

2.5Дополнить до полного квадрата

x2 −5x +6;

где p – число произвольного знака.

Определяем чему равно p = _____________________,

чему равно 2p =________________ .

Тогда x2 −5x +6 = _______________________________________ =

Приведите подобные:

_____________________________________________

Ответ:

2.6Дополнить до полного квадрата

−4x2 −8x +3;

Вынесите коэффициент при x2 за скобку

−4x2 −8x +3 = ________________________________

Определяем чему равно p = _____________________,

чему равно 2p =________________ .

Тогда −4x2 +8x +3 = −4((__________)2 − ______________ )=

Раскройте внешние скобки и приведите подобные:

Ответ:

13

2.7Выделить целую часть дроби

x2 +2x −3; x +1

Деление производим столбиком, для этого выполняем следующие шаги:

1)Делим старший член числителя на старший член знаменателя: x2: x= ______, получаем первый член частного.

2)Умножаем делитель на полученный выше результат деления: x(x+1)=_________ и записываем результат под делимым

3)Вычитаем полученный многочлен из делимого, результат записываем под чертой

4)Повторяем предыдущие три шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой

Результат деления записываем в виде

делительделимое = частное+ делительостаток :

x2 +2x −3 = x +1

Ответ:

14

2.8Выделить целую часть дроби

x3 −2x2 −4 ; x −1

Для выделения целой части, используйте алгоритм деления многочленов столбиком:

Результат деления записываем в виде:

x3 −2x2 −4 = x −1

Ответ:

2.9Упростить

Разложите знаменатель второй дроби на множители:

a2 −9 = _____________

Общий знаменатель будет равен: _______________________

Дополнительный множитель для первой дроби: ___________

Дополнительный множитель для второй дроби:____________

Приведите к общему знаменателю и упростите дробь:

15

Ответ:

2.10 Упростить

1 a2 (b6 )3

a3 b12 4 a−14

Примените свойства степени:

Ответ:

Решение:

16

Тема 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Простейшие рациональные уравнения

Основными методами решения уравнений высших степеней являются:

1) Метод разложения на множители:

f (x) = 0, f (x) g(x) = 0 g(x) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

2) Метод замены переменной.

При решении иррациональных уравнений (переменная стоит под знаком корня или в дробной степени) используют возведение обеих частей уравнения в одинаковую степень. При возведении в четную степень требуется нахождение ОДЗ (область допустимых значений) и ОВР (область возможных решений) или проверка.

18

19

Ответ:

3.3Решить уравнение

(x +1)(x2 −5x) +6(x +1) = 0;

Вынесите общий множитель за скобку:

Примените условие, когда произведение равно нулю и решите каждое из полученных уравнений.

Ответ:

3.4Решить уравнение

x4 +8x2 −9 = 0;

Сделайте замену переменной x 2 = t , t ≥0

_____________________________________________

Дискриминант, полученного квадратного уравнения

D= __________________________________________

20