практикум по элементарной математике
.pdf
7.1Решить неравенство x(x −6) ≤0
Данное неравенство является квадратным. Найдите корни уравнения x(x – 6)=0
___________________________________________
Отметьте найденные точки на числовой прямой
x
Нарисуйте параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх) и расставьте знаки квадратного трехчлена.
Выберите интервалы, являющиеся решением неравенства:
___________________________________________
Ответ:
7.2Решить неравенство
−x2 + 4x −4 ≥ 0
Решите квадратное уравнение
−x2 + 4x −4 = 0
D=_______________________
Корни уравнения:
_________________________________
Отметьте найденные точки на числовой прямой и расставьте знаки квадратного трехчлена (можно нарисовать параболу ветви которой направлены вниз)
x
Выберите интервалы, являющиеся решением неравенства:
____________________________________________
Ответ:
41
7.3 Решить систему неравенств
x2 ≤ 4,−4x −4 <0,
−x2 −6x −10 <0
Решите первое неравенство (квадратное):
Решите второе неравенство (линейное):
Решите третье неравенство (квадратное):
Тогда решение системы:
Ответ:
7.4Решить неравенство
1x ≤ 2.
Перенесите все в одну часть и приведите к общему знаменателю:
42
Решите неравенство методом интервалов:
f(x) = |
|
, f(x) ≤ 0 |
|
|
|
1.D(f) или ОДЗ неравенства: ________________
2.Нули функции f(x): ______________________
3.Отметьте все найденные точки на числовой прямой:
x
и расставьте знаки функции f(x) на каждом интервале. Выберите интервалы, где функция имеет знак «–». Ответ:
7.5Решить неравенство
(x + 2)(x −5) ≥ 0 . 3 − x
Решите неравенство методом интервалов:
f(x) = |
|
, f(x) ≥ 0 |
|
|
|
1.D(f) или ОДЗ неравенства: ________________
2.Нули функции f(x): ______________________
3.Отметьте все найденные точки на числовой прямой:
x
и расставьте знаки функции f(x) на каждом интервале. Выберите интервалы, где функция имеет знак «+». Ответ:
43
7.6Решить систему неравенств:
x −4 |
<1, |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
||||
2x −3 |
|
1 |
|
|||
x + 4 |
≥ |
. |
||||
|
|
|
2 |
|||
3x +1 |
|
|
||||
Решите первое неравенство:
Решите второе неравенство:
Тогда решение системы:
Ответ:
44
7.7 Найти область определения функции |
||
|
y = |
x2 −7x +12 |
|
x2 −2x −3 |
|
|
|
|
|
Используйте область определения корня квадратного |
|
|
(подкоренное выражение ≥ 0) |
|
|
___________________________________________ |
|
|
Решите неравенство методом интервалов: |
|
|
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
|
x |
|
Ответ: |
|
7.8 |
Решить неравенство |
|
|
(x2 −4) x +3 ≤ 0 |
|
|
Решите неравенство методом интервалов |
|
|
f(x) = |
, f(x) ≤ 0 |
|
1) |
Найдите ОДЗ неравенства |
45
2) |
Нули функции |
3) |
На числовой прямой отметьте ОДЗ и найденные точки |
|
x |
|
и расставьте знаки функции на каждом интервале. |
|
Выберите в ответ множество точек, где функция ≤ 0. |
Ответ: |
|
|
Задания для самопроверки |
1.Решить неравенство 3x −2x2 ≥ 0 ;
|
x2 |
≤ 9, |
|
|
2. |
|
− 2x < 0, |
; |
|
Решить систему неравенств 1 |
||||
|
|
2 |
− 4x +10 |
≥ 0. |
|
x |
|
||
3.Решить неравенство (x − 2)(x + 4) ≥ 0 ;
1− x
4.Решить неравенство 1x ≤ x −2 2 ;
5. |
Найти область определения функцииy = |
x2 |
−16 |
+ |
1 |
. |
|
x2 −3x +6 |
36 − x2 |
||||||
|
|
|
|
||||
Ответы: 1. (1,5; 3] ; 2. (½; 3] ; 3. (–∞; 4] (1; 2] ; 4. (–2; 0) (2; +∞) ;
5. (–6; –4] [4; 6).
Тема 8. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
46
Модулем или абсолютной величиной действительного числа называется само число, если оно неотрицательно и противоположное ему число, если оно
a, если a ≥0, отрицательно, т.е. a = −a, если a<0.
а называется подмодульным выражением. Из определения следует, что
│а│≥ 0.
Свойства модуля:
1)a b = a b ;
2)a = −a ;
3)ba = 
ba
;
4)a +b ≤ a + b ;
5)a 2 = a2
6)a2 = a
7)x ≤ a −a ≤ x ≤ a, где a ≥0;
x ≤ −a,
8) x ≥ a x ≥ a , где a ≥0;
Метод интервалов знакопостоянства для раскрытия модуля
1) |
Находят |
точки, |
где |
подмодульные |
|
выражения обращаются в нуль; |
|
|
|
2) |
Отмечают найденные точки на числовой |
|||
|
прямой с учетом ОДЗ; |
|
|
|
3) |
Расставляют |
знаки |
|
подмодульных |
|
выражений на всех интервалах знакопостоянства; |
|
|
|
4) |
Рассматривают каждый интервал раскрывая |
|||
|
модуль. |
|
|
|
1)f (x)
2)f (x)
|
|
Частные случаи уравнений с модулем |
||
|
f (x) = a, |
|
, где a ≥0; |
|
= a |
|
|||
|
f (x) = −a |
|
||
|
g(x) |
f (x) = g(x), |
||
= |
|
|
|
|
|
|
f (x) |
= −g(x); |
|
47
8.1Решить уравнение
x−2 = 2x +3
Так как по определению модуля
________ ,если x −2 ≥0,
x−2 = ________ ,если x −2 <0,
то данное уравнение равносильно совокупности двух систем
x −2 ≥0,
__________ =2x +3,
x −2 <0,
__________ =2x +3.
Решаем полученные системы:
Ответ:
8.2Решить уравнение
4x −5 = x2 −1
Используйте частный случай уравнений с модулем. Решите каждое из полученных уравнений:
Ответ:
48
8.3Решить уравнение
2 − x − x −1 = x −2
Используйте метод интервалов знакопостоянства:
1)Найдите точки, где подмодульные выражения обращаются в нуль: _____________________________________
2)Отметьте найденные точки на числовой прямой:
2 – x x – 1
x
3)Расставьте знаки подмодульных выражений на всех интервалах знакопостоянства (слева указаны подмодульные выражения);
4)Раскройте модуль на каждом из интервалов, учитывая знак подмодульного выражения. Получаем совокупность трех систем:
x < ___,_________________ = x −2,___ ≤ x < ___,_________________ = x −2,x ≥ ____,_________________ = x −2.
Решите полученные системы:
Ответ:
49
8.4Решить уравнение
x−3 − x +2 =5
Используйте метод интервалов знакопостоянства:
1)Найдите точки, где подмодульные выражения обращаются в нуль: _________________________________________
2)Отметьте найденные точки на числовой прямой:
x – 3 x + 2
x
3)Расставьте знаки подмодульных выражений на всех интервалах знакопостоянства (слева указаны подмодульные выражения);
4)Раскройте модуль на каждом из интервалов, учитывая знак подмодульного выражения. Получаем совокупность трех систем:
x < ___,___________________ =5,___ ≤ x < ___,___________________ =5,x ≥ ____,___________________ =5.
Решите полученные системы:
Ответ:
50