§5. Производные и дифференциалы высших порядков

Производная называется еще первой производной функцииили производной первого порядка, сама функцияназывается производной нулевого порядка.

Определение. Производной – го порядка функции называется производная от её производной (-1) порядка при условии, что эти производные существуют:

, =1,2,3,…

функция при этом называется k раз дифференцируемой.

Определение. Дифференциалом – го порядка функции называется дифференциал от ее дифференциала ()–го порядка

,

вычисленный в предположении, что остается постоянной.

.

§6. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей

Теорема Лопиталя. Пусть и- две б.м. или б.б. прифункции, дифференцируемые в окрестности и пустьив. Тогда, если существует, то существуети они равны между собой:

=.

Аналогичные утверждения справедливы для ,,,,, а также для случая, когда функцияявляется бесконечно большой.

К пределам других видов – , также можно применять правило Лопиталя, предварительно преобразовав выражение к виду или.

1. Произведение б.м. на б.б. функцию , т.е. вида, преобразуется к виду

(вида ) или(вида).

Затем применяется правило Лопиталя.

2. Разность двух б.б. функций видапреобразуется, например, к виду

;

к этому выражению применяется правило Лопиталя.

3. Функция типаилизаписывается в виде

,

затем вычисляется типа.

Если – число, то.

Если =, то.

Если , то.

§7. Исследование функций с помощью производных

7.1. Монотонность и экстремумы функции

Функция называетсянеубывающей (возрастающей) в интервале (а,b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство(). Если (), то такая функция называетсяневозрастающей (убывающей) в (а,b). Такие функции называют монотонными в интервале (а,b).

Теорема. Пусть функция дифференцируема в интервале .

1. Если f(x) монотонно возрастает в , то , .

2. Если ,, томонотонно возрастает в.

В интервалах возрастания или убывания функции знак производной не меняется.

Определение. Точка называетсяточкой минимума (максимума) функции если она определена в некоторой окрестностиэтой точки и для.

Значение в этом случае называетсяминимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума называются экстремальными точками, а соответствующие значения - экстремумами функции.

Точка x₀, в которой функция y=f(x) непрерывна, а её производная равна нулю или не существует, называетсякритической точкой этой функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть x₀ – экстремальная точка функции y=f (x), тогда x₀ – критическая точка этой функции.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функциянепрерывна в окрестности U(x₀) критической точки x₀ и дифференцируема в U(x₀)\ {x₀}. Тогда

1) если в U(x₀) f '(x)>0 при х<x₀ и f '(x)<0 при x>x₀ , то x₀ - точка максимума;

2) если в U(x₀) f '(x)<0 при х<x₀ и f '(x)>0 при x>x₀ , то x₀ - точка минимума;

3) если в U(x₀) f ' (x)>0 или f ' (x)<0 при x x₀ , то в x₀ экстремума нет.

Теорема. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ и вторая производная f''(x₀) существует. Тогда, если f''(x₀)>0, то x₀ - точка минимума, а если f''(x₀)<0, то x₀ - точка максимума.

С помощью исследования экстремумов можно находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

= max{f(a), f(b), f(x_i): x_i(a,b) - точки максимума},

= min{f(a), f(b), f(x_i): x_i(a,b) - точки минимума}.