23. Розв’язання

Згідно з правилом добутку з пункту до пункту через пункт веде доріг, а через пункт – доріг. Тому за правилом суми кількість доріг з пункту до пункту дорівнює . 

5.1.2. Розміщення. Розміщення з повтореннями

Нагадаємо означення впорядкованої множини.

Означення 5.1.1. Множину називають впорядкованою, коли в ній встановлено відношення порядку “менше”, що має такі властивості:

1. : або , або ;

2. .

Означення 5.1.2. Нехай , тобто множина складається з елементів, . Розміщенням без повторень з елементів по називають довільну впорядковану підмножину множини , всі елементи якої різні.

Кількість різних розміщень з елементів по без повторень позначають:

.

Два розміщення вважають різними не лише тоді, коли вони відрізняються один від одного хоча б одним елементом, але й тоді, коли вони складаються з однакових елементів, але відрізняються порядком їх розміщення.

Теорема 5.1.1. Кількість -розміщень без повторень з елементів визначається так:

.

Доведення

Перший елемент впорядкованої пари -елементної множини можна вибрати способами, другий – способами. Впорядковану пару за правилом добутку вибирають способами, впорядкована трійка – способами. Продовжуючи цей процес далі, отримаємо:

.

Теорему доведено. 

Теорема 5.1.2. Кількість різних розміщень без повторень з елементів по дорівнює добутку послідовних чисел, більшим з яких є :

.

Приклад. Нехай студенту необхідно скласти чотири екзамени протягом десяти днів. Скількома способами можна це зробити?

1. Розв’язання

.

Означення 4.1.3. Нехай , а kN. Розміщенням з повтореннями з п елементів по k називають довідний впорядкований k-елементний набір виду , де – елементи множини М, не обов’язково різні.

Кількість різних розміщень з повтореннями позначують .

Теорема 5.1.3. Кількість різних розміщень з повтореннями з елементів по , де і – довільні натуральні числа дорівнює:

.

Приклад. Скількома способами можна записати шестизначний телефонний номер, якщо не зважати на зміст розміщення цифр (тобто номер 000000 вважати можливим)?

2. Розв’язання

Оскільки всіх цифр є 10 і у номері вони можуть повторюватися, то

.

5.1.3. Перестановки. Перестановки з повтореннями

Означення 5.1.4. Розміщення з елементів по називають перестановкою з елементів.

Кількість різних перестановок без повторень позначають .

Теорема 5.1.4. різних перестановок без повторень дорівнює добутку всіх натуральних чисел з 1 до :

.

Доведення випливає з того, що .

Приклад. Одного разу 10 друзів зайшли до ресторану. Хазяїн запропонував їм приходити до нього щодня і кожного разу сідати за один і той самий стіл по-іншому. Доки всі способи розміщення будуть вичерпані, їх годуватимуть у ресторані безкоштовно. Коли настане цей день?

3. Розв’язання

.

Означення 4.1.5. Нехай . Перестановкою з повтореннями з п елементів називають будь-яке впорядковання п-множини, серед елементів якої є однакові. Якщо серед елементів множини М є елементів першого типу,

елементів другого типу,

...

елементів k-го типу ,

то кількість всіх перестановок такої множини з повтореннями позначують .

Теорема 5.1.5. Має місце формула:

.

Приклад. Скільки перестановок можна зробити з літер слова “Міссісіпі”?