1.6. Логістичні принципи складування продукції

Логістичні склади знаходять усе більш широке розповсюдження в різних областях виробництва, торгівлі і сфери послуг, у тому числі в поштовому зв’язку. Виконуючи роль посередників між постачальниками і споживачами продукції, логістичні склади беруть на себе функції укладання договорів з постачальниками продукції відповідно до заяв споживачів або на основі вивчення споживчого попиту, виконання завантажувально-розвантажувальних робіт, перевезення продукції від постачальників до складу, зберігання, сортування, обліку, формування відправок і перевезення продукції від складу до споживачів, звільняючи тим самим споживачів від необхідності установлювати індивідуальні зв’язки з постачальниками продукції та суттєво скорочуючи транспортні витрати, пов’язані з її перевезенням.

Сучасні склади виконують різноманітні функції, основні з яких наведено на рис. 1.19.

Численні функції складів, великі номенклатура й об’єми продукції, що в них зберігаються, зв’язки з багатьма постачальниками і замовниками продукції перетворюють сучасні склади на самостійні логістичні підприємства.

На рис. 1.20 наведено схеми зв’язків між постачальниками і замовниками продукції за умов відсутності складів (а), наявності одного складу (б) або наявності декількох складів (в).

Рисунок 1.20 – Схеми зв’язків між постачальниками і замовниками продукції

За умов відсутності складів (рис. 1.20, а) кількість зв’язків (транспортних маршрутів) між n постачальниками і m замовниками продукції складає M₀ = nm; за наявності одного складу (рис. 1.20, б) M₁ = n + m; за наявності k складів (рис. 1.20, в) M_k = nk + m.

Зазначимо, що хоча за наявності декількох складів кількість зв’язків між постачальниками і замовниками продукції порівняно з наявністю одного складу зростає, існує така кількість складів, за наявності якої при їх оптимальному розташуванні досягається мінімум вантажоперевезень або мінімум сумарної протяжності транспортних маршрутів.

Таким чином, виникає задача знаходження місця розташування складу, оптимального за тим чи іншим критерієм.

Постановка задачі

Існує k видів продукції, що поставляються n постачальниками відповідно до матриці постачання (i = 1, 2,…, k; j = 1, 2,…, n), елемент u_ij якої представляє об’єм продукції i, що надходить від постачальника j (рис. 1.21, а) і призначений m замовникам відповідно до матриці замовлення (i = 1, 2,…, k;

j = 1, 2,…, m), елемент v_ij якої представляє об’єм продукції i, що направляється замовнику j (рис. 1.21, б).

Види продукції	Постачальники					Види продукції	Замовники
	1	2	…	n			1	2	…	m
1	u11	u12	…	u1n		1	v11	v12	…	v1m
2	u21	u22	…	u2n		2	v21	v22	…	v2m
…	…	…	…	…		…	…	…	…	…
k	uk1	uk2	…	ukn		k	vk1	vk2	…	vkm
Усього	U1	U2	…	Un		Усього	V1	V2	…	Vm

а б

Рисунок 1.21 – Матриці постачання (а) і замовлення (б) продукції

Відповідно до дотримання балансу постачання і замовлення продукції сума елементів рядка і матриці постачання дорівнює сумі елементів рядка і матриці замовлення

.

Сума елементів стовпця j матриці постачання визначає об’єм продукції всіх видів, що постачається постачальником j, а сума елементів стовпця j матриці замовлення – об’єм продукції усіх видів, що направляється споживачу j

; .

Сума всіх елементів матриці постачання дорівнює сумі всіх елементів матриці замовлення

.

Позначимо відстані між складом і постачальниками продукції через p₀₁, p₀₂,…, p_0n, а відстані між складом і замовниками продукції – через q₀₁, q₀₂,…, q_0m.

Тоді об’єм перевезень складе

.

Необхідно знайти таке місце розташування складу, за якого досягається мінімум загального об’єму перевезень продукції від постачальників продукції до складу і від складу до замовників продукції

.

Зважаючи, що з точки зору мінімізації об’єму перевезень продукції напрями перевезення не мають значення, об’єднаємо обидві складові перевезень і подамо їх у виді

,

де

s = n + m;

при 1  j  n

при n + 1  j  s

;

при 1  j  n

при n + 1  j  s

;

при 1  j  n

при n + 1  j  s

.

Тепер місця розташування постачальників і замовників продукції можна розглядати як точки з координатами (х₁, y₁), (х₂, y₂),…, (х_s, y_s), у яких зосереджені маси продукції, а місце розташування складу – як точку з координатами (х₀, y₀).

Можна зазначити декілька можливих варіантів місць розташування складу, оптимальних за тими або іншими критеріями:

• розташування складу в центрі мас зважених точок

T₁(W₁), T₂(W₂),…, T_s(W_s) за відсутності обмежень на напрями перевезень;

• розташування складу в геометричному центрі точок T₁, T₂,…, T_s за відсутності обмежень на напрями перевезень;

• розташування складу в центрі мас зважених точок

T₁(W₁), T₂(W₂),…, T_s(W_s) за наявності обмежень на напрями перевезень;

• розташування складу в геометричному центрі точок T₁, T₂,…, T_s за наявності обмежень на напрями перевезень.

Зазначимо, що розташуванню складу в центрі мас зважених точок (тобто з урахуванням мас продукції) відповідає мінімізація вантажовідстаней, що характерно для перевезень великих вантажів, тоді як розташування складу в геометричному центрі точок (тобто без урахування мас продукції) відповідає мінімізації машиновідстаней або сумарної протяжності транспортних маршрутів, що характерно для перевезень малих вантажів.

Розглянемо знаходження координат місця розташування складу в усіх наведених випадках.

На рис. 1.22 наведено приклад розташування складу в центрі мас мережі перевезень.

Рисунок 1.22 – Приклад розташування складу в центрі мас мережі перевезень

Координати центру мас мережі перевезень х_ЦМ і у_ЦМ розраховуються за формулами

x_ЦМ = ;

y_ЦМ = ,

де х₁, у₁; х₂, у₂;…; х_s, у_s – координати місць розташування постачальників і замовників продукції;

W₁, W₂,…, W_s – маси продукції, що перевозяться між складом та постачальниками і замовниками продукції.

На рис. 1.22 х₁ = 1, у₁ = 2, W₁ = 40; х₂ = 3, у₂ = 8, W₂ = 10; х₃ = 6, у₃ = 3,

W₃ = 30; х₄ = 8, у₄ = 6, W₄ = 65.

Виходячи з цього

x_ЦМ = ;

y_ЦМ = .

При цьому відстані між центром мас (5,31; 4,41) і точками розташування постачальників і споживачів продукції (1; 2); (3; 8); (6; 3); (8; 6) складають відповідно 4,938; 4,269; 1,570; 3,125, а сума вантажовідстаней

4,938∙40 + 4,269∙10 + 1,570∙30 + 3,125∙65 = 490,42.

На рис. 1.23 наведено приклад розташування складу в геометричному центрі мережі перевезень (координати місць розташування постачальників і замовників продукції збігаються з зазначеними на рис. 1.22).

Рисунок 1.23 – Приклад розташування складу

в геометричному центрі мережі перевезень

Координати геометричного центру мережі перевезень х_ГЦ і у_ГЦ розраховуються за формулами

х_ГЦ = ;

y_ГЦ = .

Для даних рис. 1.23

х_ГЦ = ;

y_ГЦ = .

Зазначимо, що формули для визначення координат х_ГЦ і у_ГЦ випливають з формул для визначення х_ЦМ і у_ЦМ шляхом надання масам продукції, що перевозяться між складом та постачальниками і замовниками, одиничних значень.

При цьому відстані між геометричним центром (4,50; 4,75) і точками розташування постачальників і замовників продукції (1; 2); (3; 8); (6; 3); (8; 6) складають відповідно 4,45; 4,98; 2,30; 3,72, а сума машиновідстаней

4,45 + 3,58+ 2,30 + 3,72 = 14,05.

На рис. 1.24 наведено приклад розташування складу в центрі мас мережі перевезень за наявності обмежень на напрями перевезень (міські квартали) з дозволеними напрямами перевезень лише по горизонталях і вертикалях.

Рисунок 1.24 – Приклад розташування складу в центрі мас

мережі перевезень за наявності обмежень на напрями перевезень

Центр мас зважених точок (розташування і маси зважених точок збігаються з рис. 1.22), як випливає з подальшого, знаходиться в точці з координатами (6; 6).

Відстані між центром мас (6; 6) і точками розташування постачальників і замовників продукції (1; 2); (3; 8); (6; 3); (8; 6) складають відповідно 9; 5; 3; 2, а сума вантажовідстаней 9∙40 + 5∙10 + 3∙30 + 2∙65 = 630, що на 139,58 вантажовідстаней перевищує абсолютний мінімум 490,42.

Для знаходження центру мас зважених точок за наявності обмежень на напрями перевезень (міські квартали) доцільно скористатися методом спрямованого пошуку, сутність якого полягає в тому, що в такій мережі від довільної початкової точки Т(х; у) існує лише чотири можливі напрями змін її координат, наведених на рис. 1.25.

Рисунок 1.25 – Можливі напрями змін координат точки (міські квартали)

При пошуку координат центру мас зважених точок (міські квартали) зміну поточних координат центру мас слід робити в тому з напрямів Т₁, Т₂, Т₃, Т₄, де сума вантажовідстаней зменшується (таких напрямів може бути 0, 1 або 2). Збільшення суми вантажовідстаней на всіх напрямах змін координат свідчить про знаходження точки Т в центрі мас зважених точок.

У табл. 1.5 наведено послідовність кроків знаходження центру мас зважених точок рис. 1.24. Як початкову прийнято точку Т (5;4), координати якої є округленими значеннями координат центру мас (див. рис. 1.22).

Таблиця 1.5 – Послідовність кроків знахождення центру мас зважених точок

(міські квартали)

Крок	Напрям	Поточні координати	Вантажовідстані	Примітки
0	-	5; 4	6∙40 + 6∙10 + 2∙30 + 5∙65 = 685	Початкове значення
1	Т1	6; 4	7∙40 + 7∙10 + 1∙30 + 4∙65 = 640	Напрям Т1 приймається
2	Т1	7; 4	8∙40 + 8∙10 + 2∙30 + 3∙65 = 655	Вертикаль центру мас (х = 6) визначена. Повернення в точку (6; 4)
3	Т2	6; 5	8∙40 + 6∙10 + 2∙30 + 3∙65 = 635	Напрям Т2 приймається
4	Т2	6; 6	9∙40 + 5∙10 + 3∙30 + 2∙65 = 630	Напрям Т2 приймається
5	Т2	6; 7	10∙40 + 4∙10 + 4∙30 + 3∙65 = 755	Горизонталь центру мас (у = 6) визначена. Повернення в точку (6; 6)

Таким чином, точка (6; 6) є центром мас зважених точок рис. 1.24, а отримане значення вантажовідстаней 630 – мінімальним.

На рис. 1.26 наведено приклад розташування складу в геометричному центрі мережі перевезень за наявності обмежень на напрями перевезень (міські квартали) тим самим методом, що і при знаходженні центру мас зважених точок (міські квартали).

Рисунок 1.26 – Приклад розташування складу в геометричному центрі

мережі перевезень за наявності обмежень на напрями перевезень

При цьому може існувати деяка область значень координат геометричного центру точок (як, втім, і область значень координат центру мас зважених точок), у виді прямокутника або лінії, в якій значення машиновідстаней (вантажовідстаней) мають мінімальні значення. У ряді випадків може виявитися корисним знаходження меж зазначеної області, наприклад, для більш обгрунтованого вибору місця розташування складу.

У табл. 1.6 наведено послідовність кроків знаходження меж області значень координат геометричного центру точок. Як початкова взята та сама точка Т (5; 4), що і в попередньому прикладі.

Таблиця 1.6 – Послідовність кроків знаходження меж області значень

координат геометричного центру точок

Крок	Напрям	Поточні координати	Машиновідстані	Примітки
0	-	5; 4	6 + 6 + 2 + 5 = 19	Початкове значення
1	Т1	6; 4	7 + 7 + 1 + 4 = 19	Напрям Т1 приймається
2	Т1	7; 4	8 + 8 + 2 + 3 = 21	Права вертикаль (х = 6) області визначена. Повернення в точку (5; 4)
3	Т2	5; 5	7 + 5 + 3 + 4 = 19	Напрям Т2 приймається
4	Т2	5; 6	8 + 4 + 4 + 3 = 19	Напрям Т2 приймається
5	Т2	5; 7	9 + 3 + 5 + 4 = 21	Верхня горизонталь (у = 6) області визначена. Повернення в точку (5; 4)
6	Т3	4; 4	5 + 5 + 3 + 6 = 19	Напрям Т3 приймається
7	Т3	3; 4	4 + 4 + 4 + 7 = 19	Напрям Т3 приймається
8	Т3	2; 4	3 + 5 + 5 + 8 = 21	Ліва вертикаль (х = 3) області визначена. Повернення в точку (5; 4)
9	Т4	5; 3	5 + 7 + 1 + 6 = 19	Напрям Т4 приймається
10	Т4	5; 2	4 + 8 + 2 + 7 = 21	Нижня горизонталь (у = 3) області визначена. Усі межі області визначені

Як випливає з табл. 1.6, область можливих значень координат центру точок рис. 1.26 обмежена вертикалями х = 3; х = 6 і горизонталями у = 3; у = 6. При знаходженні координат геометричного центру точок усередині зазначеної області (включаючи граничні значення) забезпечується мінімальне значення машиновідстаней 19, що на 4,95 більше абсолютного мінімуму.

На закінчення зазначимо, що на практиці задача оптимізації місця розташування логістичного складу ставиться в більш простій постановці, а саме як задача вибору найкращого з декількох можливих місць розташування логістичного складу при відомих відстанях між місцями знаходження постачальників і замовників продукції та згаданими можливими місцями розташування складу.

Розв’язання задачі зводиться до розрахунку сумарних вантажовідстаней або сумарних машиновідстаней для кожного можливого місця розташування складу і вибору серед них місця, в якому зазначені вантажовідстані або машиновідстані мінімальні.