Численное интегрирование

Геометрическое истолкование определенного интеграла: интеграл численно равен площади, покрываемой ординатами графика f(x), т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, отрезками прямой x = a, x = b и графиком подынтегральной функции.

,

где F – первообразная.

Если первообразную найти сложно или невозможно, а также, если f(x) задана таблично или графиком, применяется численное интегрирование.

Формула прямоугольников

Промежуток интегрирования [a, b] делим точками x_1, x_2, ..., x_n-1 на n равных частей; длина каждой

h = ( b - a) / n .

Т.е.x₀ = a , x_n = b, x_i = a + i h, i = 0, 1, ..., n-1.

Пустьy ₀ = f(x₀), y _i = f(x_i), ... , y _n = f(x_n).

I ≈ (b - a) f(a) – формула левых прямоугольников

I ≈ (b - a) f(b ) - формула правых прямоугольников.

(3.1)

(3.2)

Выражения (3.1), (3.2) дают площади ступенчатых фигур.

Точность формул увеличивается с увеличением промежутков разбиения n.

Предельная абсолютная погрешность (3.3)

Формула трапеций

Промежуток интегрирования[a, b] делим точками x_1, x_2, ..., x_n-1 на n равных частей; длина каждой (3.4)

Т.е. координаты узловых точек промежутков

x₀ = a ,

x_i = a + i h, i = 0,1, ..., n - 1 , (3.5)

x_n = b

Соответственно, значения подынтегральной функции в этих точках

y ₀ = f(x₀),

y _i = f(x_i), ... , i = 0,1, ..., n - 1 , (3.6)

y _n = f(x_n).

–формула площади прямолинейной трапеций

(3.7)

Выражение (3.7) дает общую площадь трапеций.

Предельная абсолютная погрешность (3.8)

Формула Симпсона (параболических трапеций)

Вершины трех соседних точек соединяются дугой квадратной параболы.

Формула площади параболической трапеций

, где

Промежуток интегрирования [a, b] делим точками x_1, x_2, ..., x_2n-1 на 2n равных частей;

длина каждой (3.9)

Т.е. координаты узловых точек промежутков

x₀ = a ,

x_i = a + i h, i = 0,1, ..., 2n - 1, (3.10)

x_2n = b

Соответственно, значения подынтегральной функции в этих точках

y ₀ = f (x₀),

y _i = f (x_i), ... , i = 0,1, ..., 2n - 1 , (3.11)

y _2n = f (x_2n).

, (3.12)

где с = .

Формула (3.12) дает точные результаты для полиномов не выше 3-ей степени.

Предельная абсолютная погрешность (3.13)

Рекомендации по выполнению задания

1. Нахождение численного значения определенного интеграла (метод Симпсона)

В соответствии с номером варианта N выбирается интеграл, метод решения и число n.

Промежуток интегрирования разбивается на n или 2n равных промежутков по формулам (3.4) или (3.9) в зависимости от метода.

Определяются координаты узловых точек промежутков по формулам (3.5) или (3.10) и значения подынтегральной функции в этих точках по формулам (3.6) или (3.11).

Численное значение определенного интеграла вычисляется по формулам (3.7) или (3.12).

График подынтегральной функции строится на основании данных x_i и y _i.

2. Нахождение численного значения определенного интеграла методом Симпсона с помощью электронных таблиц EXCEL

	А	B	C	D	E	F	G	H	i
1			Численное интегрирование методом Симпсона
2					Подынтегральная функция	a	b	n	h
3					y = π + sin(x2 )	0	1,57	6	0,1308
4		i	xi	yi	Численное значение интеграла
5		0	0	3,140
6		1	0,1308	3,157
7		2	0,2617	3,208
8		3	0,3925	3,293	5,7689
9		4	0,5233	3,410
10		5	0,6542	3,555
11		6	0,7850	3,718
12		7	0,9158	3,884
13		8	1,0467	4,029
14		9	1,1775	4,123
15		10	1,3083	4,130
16		11	1,4392	4,017
17		12	1,5700	3,766

Пояснения:

1. В ячейки F3, G3, H3 введены исходные данные a, b и n, в ячейку i3 - значение h , вычисленное по формуле (3.9), т.е. = (G3 – F3) / (2*H3).

2. В диапазоне С5 : С17 вычислены значения x_i по формуле (3.10), т.е. в ячейку С5 введена формула = $F$3 + $i$3 * B5, затем с помощью приема автозаполнения эта формула распространена на остальные ячейки диапазона.

3. В диапазоне D5 : D17 вычислены значения подынтегральной функции y_i по формуле (3.11), т.е. в ячейку D 5 введена формула = Пи( ) + SIN (С5^2), затем эта формула распространена на остальные ячейки диапазона.

4. В ячейке Е8 записана формула (3.12) определения численного значения определенного интеграла по методу Симпсона

=i3/3*(D5+D17+4*(D6+ D8+D10+D12+D14+D16)+2*(D7+D9+D11+D13+ D15)).

5. На основании смежного диапазона С5 : D17 построена диаграмма категории «Точечная», на которой представлен график подынтегральной функции y = f(х) .

Примечание: расчет методом трапеций выполняется аналогично, по соответствующим формулам