§ 2.Действия над комплексными числами
П.2.1.Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1=х1+iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2). (2.1)
Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:
z1+z2=z2+z1
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
Из определения (2.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).
Непосредственно из рисунка видно, что |z1+z2|≤|z1|+|z2|. Это соотношение называется неравенством треугольника.
П.2.2.Вычитание комплексных чисел
Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число zl т. е. z=z1-z2, если z+z2=z1.
Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z:
z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2). (2.2)
Из равенства (2.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 165).
Непосредственно из рисунка видно, что |z1-z2|≥|z1|-|z2|. Отметим, что
т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство |z-2i|=1 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z0=2i, т. е. окружность с центром в z0=2i и радиусом 1.
П.2.3. Умножение комплексных чисел
Произведением к омплексных чисел z1 =х1 +iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством
z=z1 z2 =(x1 x2- у1 у2)+i(x1 y2+y1x 2 ). (2.3)
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
i 2 =- 1. (2.4)
Действительно, i2=ii=(0+1 i )(0+1i )=(0-1)+i(0+0)=-1. Благодаря соотношению (2.4) формула (2.3) получается формально путем перемножения двучленов x1+ iy1 и х2+iy2:
(х1 +iy1 )(x2+iy2) =x1x 2 +x1 iy2+i у1 х2+iy1iy 2 =x1 x2 +i2y1 y2+i (x1 y2+y1 x2)=x1 x2-y1 y2+i(x1 y2+y1x 2 ).
Например,
(2-3i)(- 5+4i)=-10+8i+15i-12i2=-10+23i+12=2+23i.
Заметим, что z*z=(х+iy)(x-iy)=х2+у2 — действительное число.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:
z1z2=z2z1
(z1z2)z3=z1(z2z3).
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
В этом легко убедиться, используя определение (2.3).
Найдем произведение комплексных чисел z1=r1(cosφ1+isinφ1) и z2=r2(cosφ2+isinφ2), заданных в тригонометрической форме:
z1z2=r1(cosφ1+isinφ1)r2(cosφ2+isinφ2)=
r1r2(cosφ1cosφ2+isinφ1cosφ2+rcosφ1siπφ2-sinφ1sinφφ2)=
=r1r2((cosφ1cosφ2-siπφ1sinφ2)+i(sinφ1cosφ2+cosφ1 sinφ2))=
=r1r2(cos(φ1+φ2)+i sin(φ1+φ2)),
т. е.
z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)).
Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то
zn=(r(cosφ+isinφ))n=rn(cosnφ+isinnφ). (2.5)
Формула (2.5) называется формулой Муавра.