Зразок виконання завдань

Задача 1. Обчислити добуток матриць

Розв’язання

Перша матриця має 2 строки та 4 стовпця, отже її розмір . Друга матриця має 4 строки та 3 стовпця, отже її розмір . Матриця-добуток буде мати розмір. Для обчислення елементуматриці-добутку треба помножитиу строку першої матриці най стовпець другої матриці:

,

,

,

,

,

.

Таким чином дістанемо:

.

Задача 2. Обчислити визначник

Розв’язання

Для обчислення визначника скористаємось елементарними перетвореннями над строками або стовпцями визначника, а саме можливістю додавати до будь-якої строки (стовпця) іншу строку (стовпець) помножену на будь-яке ненульове число. Такі дії спрямовані на одержання в обраній нами строчці (стовпці) трьох нулів. Строку або стовпець обираємо довільно. Для виконання меншої кількості обчислень можна обрати строку (стовпець), де є нулі. Оберемо, наприклад, останню строку. Для того, щоб вона дістала вигляду , виконаємо дві дії: до першого стовпця додамо четвертий та від третього стовпця віднімемо подвоєний четвертий. Маємо:

.

Далі за правилом обчислення визначника, розкладаємо визначник за четвертою строчкою. Помножимо єдиний ненульовий елемент цієї строки на його алгебраїчне доповнення, яке складається з визначника третього порядку та знаку . Обчислюючи визначник третього порядку за правилом трикутників, дістанемо:

.

Задача 3. Розв'язати систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь: 1) за правилом Крамера; 2) методом Жордана – Гауса; 3) за допомогою оберненої матриці.

Розв’язання

1) Розв'яжемо систему рівнянь за правилом Крамера. Складемо визначник з коефіцієнтів лівої частини системи:

.

Оскільки , система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами

,

де визначники ,, таутворюються з визначниказаміною стовпця коефіцієнтів при відповідній змінній на стовпець вільних членів.

;

;

.

2) Розв'яжемо систему за допомогою оберненої матриці.

Позначимо – матрицю-стовпець невідомих,– матрицю коефіцієнтів при невідомих,– матрицю-стовпець вільних членів. За допомогою цих матриць запишемо систему рівнянь у матричній формі:, звідки одержимо.

Знайдемо обернену матрицю . Визначник матриці, отже, матрицяA не вироджена і має обернену матрицю, а система рівнянь є визначеною. Складемо транспоновану матрицю:

.

Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів цієї матриці і запишемо їх у приєднану матрицю:

.

Таким чином, обернена матриця має вигляд .

Знайдемо розв'язок системи у вигляді

.

3) Розв'яжемо систему рівнянь методом Жордана – Гауса. Запишемо розширену матрицю системи та зведемо її до діагонального вигляду методом елементарних перетворень. Спочатку віднімемо з другого рядка подвоєний перший та з третього рядка перший, скоротимо одержані рядки:

Поміняємо місцями другий та третій рядки і віднімемо з третього рядка подвоєний другий, далі віднімемо останній рядок з перших двох, скоротимо одержані рядки:

.

Отже, розв’язок системи: .

Задача 4. Дана система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь

Знайти фундаментальну систему розв'язків та загальний розв'язок цієї системи.

Розв’язання

Розв'яжемо систему рівнянь методом Жордана – Гауса. Запишемо розширену матрицю системи й зведемо її до діагонального вигляду методом елементарних перетворень. Спочатку віднімемо з другого рядка перший та з третього рядка перший, помножений на три, скоротимо одержані рядки:

.

Додамо до першого рядка другий та віднімемо з третього рядка другий, скоротимо одержані рядки:

.

Отже, маємо систему рівнянь

Змінні є базисними, а зміннає довільною і приймає будь-яке значення. Загальний розв'язок системи :

.

Загальний розв'язок залежить від однієї довільної сталої, тому система має лише один фундаментальний розв'язок, який знайдемо, покладаючи :

.

Задача 5.Обчислити ранг матриці

.

Розв’язання

Для обчислення рангу матриці скористаємось елементарними перетвореннями над строками або стовпцями матриці: перестановкою строк (стовпців), множенням строки (стовпця) на ненульове число, додаванням до будь-якої строки (стовпця) іншої строки (стовпець) помноженої на будь-яке ненульове число. Такі дії спрямовані на одержання в першому стовпці усіх нулів під головною діагоналлю. Спочатку переставимо першу і останню строки, щоб на головній діагоналі опинилася 1:

Далі до другої строки додаємо першу, від третьої строки віднімаємо подвоєну першу, від четвертої строки віднімаємо помножену на 5 першу, від п’ятої строки віднімаємо потроєну першу:

Бачимо, що друга, третя, четверта та п’ята строки пропорційні, отже залишаємо одну з них:

.

Віднімаємо від другого стовпця потроєний перший, від третього стовпця подвоєний другий, до четвертого додаємо перший, від п’ятого віднімаємо перший помножений на 8. Дістанемо в цих стовпцях нулі у першій строчці:

.

Розділимо першу строчу на 5:

.

Віднімаємо від третього стовпця другий помножений на 0,6, до четвертого додаємо другий помножений на 0,4 від п’ятого віднімаємо перший помножений на 2,2. Дістанемо в цих стовпцях нулі у другій строчці:

.

Ранг матриці дорівнює кількості одиниць на головній діагоналі, отже дорівнює 2.

Задача 6. Знайти координативектораубазисі,якщовектори заданіубазисі:

.

Розв’язання

Складемо матрицю переходу від старого базису до нового, вписуючи координати векторів по стовбцях:

.

Знайдемо обернену до матриці . Для цього потрібно обчислити її визначник та алгебраїчні доповнення до всіх елементів:

,

,

,

.

Обернена матриця має вигляд

.

Знайдемо координативектора у новому базисі за формулою перетворення координат при перетворенні базису:

.

Задача 7. Знайти матрицю у базисі,де , , якщо вона заданаубазисі.

.

Розв’язання

Складемо матрицю переходу від старого базису до нового, вписуючи координати векторів по стовбцях:

.

Знайдемо обернену до матриці . Для цього потрібно обчислити її визначник та алгебраїчні доповнення до всіх елементів:

,

,

,

.

Обернена матриця має вигляд

.

Знайдемо матрицю у новому базисі за формулою перетворення координат при перетворенні базису:

.

Задача 8.Знайти власні вектори та власні значення матриці

Розв’язання

Знайдемо власні значення матриці A. Для цього розв’яжемо характеристичне рівняння:

,

звідки ,,. Для визначення координат власних векторів, що відповідають власним значенням, складемо однорідну систему:

Підставляючи у систему власне значення , отримаємо

Власним вектором, що відповідає власному значенню є вектор. Для власного значеннямаємо систему:

З другого рівняння випливає, що змінна приймає будь-які відмінні від нуля значення. Прими одержимо нульовий вектор, який не може бути

властивим. Отже,

Власному значенню відповідає власний вектор.

Аналогічно для :

Власним вектором для є.

Задача 9. Дослідити на знаковизначеність квадратичну форму

та звести її до канонічного вигляду методом ортогональних перетворень, якщо ,,.

Розв’язання

Матриця квадратичної форми має вигляд . Знайдемо її власні значення. Для цього розв’яжемо характеристичне рівняння:

,

звідки ,,. Для визначення координат власних векторів, що відповідають власним значенням, складемо однорідну систему:

Підставляючи у систему власне значення , отримаємо

Покладаючи , дістанемо власний вектордовжини.

Підставляючи далі у систему власне значення , отримаємо

Покладаючи , дістанемо власний вектордовжини.

Підставляючи у систему останнє власне значення, отримаємо

Покладаючи , дістанемо власний вектордовжини.

Нормуємо власні вектори:

, ,.

Складемо матрицю ортогонального перетворення, що зводить квадратичну форму до канонічного вигляду, записуючи координати нормованих власних векторів по стовпцях:

.

Саме перетворення має вигляд:

.

Після виконання перетворення квадратична форма зведеться до канонічного вигляду:

,

де коефіцієнтами при квадратах змінних є власні значення матриці квадратичної форми.

Всі власні значення квадратичної форми є додатними, тому квадратична форма є додатно визначеною.

Квадратичну форму можна дослідити на знаковизначеність за критерієм Сильвестра. Для цього обчислимо головні мінори матриці квадратичної форми:

.

Всі вони є додатними, тому квадратична форма є додатно визначеною.

Задача 10. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку

,

визначити тип кривої та побудувати її.

Розв’язання

Матриця квадратичної форми має вигляд . Знайдемо власні значення та власні вектори матриці. Для цього розв'яжемо характеристичне рівняння:

.

Власними значеннями є , та . Обчислимо власний вектор для:

Покладаючи , дістанемо власний вектор.

Розглянемо далі :

Покладаючи , дістанемо власний вектор.

Довжина обох векторів , то ж нормовані власні вектори

.

Складемо матрицю ортогонального перетворення, що зводить квадратичну форму до канонічного вигляду, записуючи координати нормованих власних векторів по стовпцях:

.

Саме перетворення має вигляд:

Після виконання перетворення рівняння кривої буде мати вигляд:

де коефіцієнтами при квадратах змінних є власні значення матриці квадратичної форми. Спрощуючи, маємо

.

Виділимо повні квадрати по змінних та:

.

Виконаємо друге перетворення координат:

Рівняння кривої звелося до вигляду , або . Це канонічне рівняння еліпса з півосями. Поєднуючи обидва перетворення координат, маємо

Нова система координат утворена поворотом на кутпроти годинникової стрілки, тому що нові координатні вісімають бути спрямовані по власних векторах, та паралельним переносом у новий центр . Побудуємо графік еліпса.