, , ,

Скоротимо обидві частини рівняння на 36:

.

Маємо канонічне рівняння еліпса з центром у точці та півосями та . Побудуємо еліпс, відкладаючи від центра по горизонталі в обидві сторони 3, а по вертикалі 2:

Задача 13. Лінія задана рівнянням у полярній системі координат . Визначити рівняння кривої у прямокутній декартовій системі координат, в якої початок координат збігається з полюсом, а невід'ємна піввісь абсцис – з полярною віссю. Звести це рівняння до канонічного вигляду і визначити тип кривої.

Розв’язання

Для визначення рівняння даної кривої у прямокутній декартовій системі координат підставимо у рівняння кривої у полярних координатах, замість змінних та, їхні значення у декартових координатах

.

Маємо

або .

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата та зведемо подібні доданки:

Для зведення одержаного рівняння до канонічного вигляду виділимо повний квадрат по змінній :

.

Розділивши обидві частини рівняння на 12, одержимо канонічне рівняння еліпса з центром у точці та півосями:

.

Задача 14. Задані координати точок , ,,.Скласти рівняння площини ABC і знайти відстань від точки D до цієї площини. Знайти точку D' симетричну точці D відносно площини ABC.

Розв’язання

Нехай –довільна точка площиниABC. Тоді вектори

, такомпланарні, тому

Обчислимо цей визначник:

Розкриємо дужки, зведемо подібні доданки та скоротимо на 2. Одержимо рівняння площини ABC:

Помножимо загальне рівняння площини на нормувальний множник

,

який беремо із знаком “+”, бо вільний член рівняння площини від'ємний.

Одержимо нормальне рівняння площини АВС:

Відстань від точки D до площини ABC знайдемо, підставивши координати точки D у ліву частину нормального рівняння площини і взявши модуль отриманого результату:

.

Для визначення координат точки D', яка симетрична точціDвідносно площиниABC, складемо рівняння прямої, що проходить через точкуперпендикулярно цій площині. За напрямний вектор прямої візьмемо нормальний вектор площиниABC: . Отже, рівняння прямої

Обчислимо координати точки перетину цієї прямої з площиноюABC. Параметричні рівняння прямої

Для визначення tв точці перетину прямої та площини, підставимоx,yтаzз параметричних рівнянь у рівняння площини:

.

Підставивши у параметричні рівняння прямої, одержимо координати точкиперетину прямої та площини:

Точка поділяє відрізокнавпіл, тому

З останніх трьох рівнянь одержимо

Таким чином, .

Задача 15. Задані координати точки та рівняння двох площинР₁: таР₂: . Знайти кут між площинами. Скласти канонічне рівняння їх лінії перетину.

Розв’язання

В умові задачі задані загальні рівняння площин, отже відомі координати нормальних векторів цих площин та. Кут між площинами знайдемо як кут між їх нормальними векторами:

Отже, площини Р₁таР₂перпендикулярні.

Напрямним вектором прямої перетину цих площин є векторний добуток нормальних векторів

.

Для визначення координат будь-якої точки шуканої прямої візьмемо, наприклад, та розв'яжемо систему рівнянь

Таким чином, обрано точку . Канонічне рівняння лінії перетину площин

.

Задача 16. Обчислити границі числових послідовностей.