9.5. Взаимодействие бегущих электромагнитных волн с активной средой

Предположим, что электромагнитная волна падает на актив­ную среду и распространяется в ней в виде плоской волны по на­правлению оси (рис. 9.9а). Пусть — поток энергии через еди­ничное поперечное сечение — изменяется при прохождении излучения через вещество, так как в нем происходят вынужденные пе­реходы с выделением и поглощением энергии.

Изменение в слое за с, т. е. изменение мощности с учетом (9.37),

. (9.52)

Поток энергии связан с объемной плотностью энергии и груп­повой скоростью соотношением

. (9.53)

Исключая из (9.52) с помощью (9.53), получаем

(9.54)

или

(9.55)

где

. (9.56)

Выражение (9.55) в оптике называется дифференциальным законом Бугера, а коэффициент — коэффициентом поглощения.

Сначала будем считать, что объемная плотность энергии в веществе настолько мала, что можно пренебречь изменением населенностей уровней и . Тогда в (9.56) не зави­сит от координаты , т. е. не зависит от коэффициент , и инте­грирование (9.55) приводит к формуле

, (9.57)

где — плотность потока энергии в начале образца .

Полученная формула называется интегральным законом Бу­гера.

Из (9.56) следует, что при (нет инверсии населеннос­тей) и закон (9.57) описывает поглощение энергии внешне­го поля в веществе, а имеет смысл коэффициента (показателя) поглощения, показывающего, на какой длине энергия волны убывает в раза. В этом случае аналогичен коэффициенту затухания в линиях передачи.

При (инверсия населенностей) , поэтому (9.57) отражает усиление поля в веществе. В этом случае говорят об отрицательном коэффициенте поглощения или вводят показа­тель усиления активной среды

(9.58)

Тогда закон Бугера (9.57) можно записать

. (9.59)

Проведенное рассмотрение не учитывало потерь энергии в среде, связанных с поглощением и рассеиванием на неоднородностях (нерезонансные потери), пропорциональных проходящей мощности . Будем считать, что эти потери распределены равно­мерно по координате , так что можно ввести линейный показа­тель потерь . Тогда дифференциальный закон Бугера (9.55) можно записать в более общем виде:

. (9.60)

Потери в активной среде ослабляют усилительный эффект и вызывают ограничение проходящей мощности.

В случае малой проходящей мощности (малой объемной плот­ности энергии ), когда и во всех точках среды остаются практически неизменными, не зависит от . Поэтому из (9.60) следует интегральный закон Бугера с учетом потерь

(9.61)

При увеличении проходящей мощности необходимо учитывать зависимость от . Подставляя (9.47) в (9.58), получим

(9.62)

Исходное значение показателя усиления при отсутствии сигна­ла получается из (9.62) при .

С учетом этого обозначения (9.62) можно записать

. (9.63)

Величина в (9.53) пропорциональна проходящей мощнос­ти, поэтому

. (9.64)

В активной среде увеличивается с ростом координаты , а убывает в соответствии с (9.64). В некотором сечении среды значение может стать равным коэффициенту потерь, т. е.

. (9.65)

В этом сечении из (9.60) , т. е. прекращается рост проходящей мощности и она достигает предельного значения, ко­торое можно определить из (9.64) при :

. (9.66)

При небольших потерях в активной среде (9.65) переходит в . В этом случае предельная мощность получается практи­чески при наступлении насыщения перехода.

Величина существенно зависит от коэффициента потерь: чем меньше , тем больше . Если бы в среде не было потерь, стремилась бы к бесконечности. В этом случае увеличение длины среды сопровождалось бы непрерывным ростом выходной мощности. При наличии потерь существенное увеличение длины над значением, соответствующим наступлению , нецелесо­образно, так как энергия будет в основном расходоваться на ком­пенсацию потерь в среде, а энергия полезного сигнала при этом практически возрастать не будет.

Из (9.66) следует, что не зависит от входной мощности . На рис. 9.10 показана зависимость при различных зна­чениях . Кривая соответствует идеализированному интег­ральному закону Бугера (9.61). при небольшом значении . Реальная кривая при том же входном сигнале отклоняется от кривой при увеличении и стремится к горизонтальной прямой . При увеличении входной мощности (кривая ) зна­чение достигается на меньшей длине.

Теперь можно качественно представить зависимости выходной мощности и коэффициента усиления от входной мощнос­ти или . Первая зависимость (участок на рис. 9.11) является амплитудной характеристикой квантового усилителя с бегущей волной. Линейный участок характеристики соответст­вует слабому сигналу, при котором показатель усиления прак­тически от мощности сигнала не зависит. Участок характери­зует наступление предельной мощности , т. е. практически со­ответствует насыщению перехода. Коэффициент усиления на ли­нейном участке имеет максимальное значение, определяемое из (9.61):

, где — длина активной среды.

При коэффициент усиления падает до единицы.

Независимость в (9.66) от входной мощности , ко­торая может быть сколь угодно малой, означает возможность со­здания квантовых генераторов излучения. При достаточно боль­шой длине среды даже слабое начальное излучение приведет к предельной мощности . Практически этот эффект достигает­ся не увеличением размеров среды, а путем многократного воз­вращения излучения в среду, например с помощью зеркал, обес­печивающих положительную обратную связь в оптическом диапа­зоне. Роль же слабого начального излучения в квантовых гене­раторах выполняет спонтанное излучение активной среды.