6. Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Вид 1. , (6.1)

де — раціональна функція, — цілі числа.

Інтеграли виду (6.1) обчислюються за допомогою підстановки:

, (6.2)

де — найменше загальне кратне чисел Така заміна приведе всі показники степені до цілого виду.

Приклад 56. .

.

Підінтегральний вираз є раціональною функцією від ,тобто . Найменше загальне кратне чисел — це 4, тому доцільною є заміна:

,

яка приведе до зникнення коренів у знаменнику.

Приклад 57. .

В підінтегральному виразі є лише один радікал: , , тому для того, щоб усунути ірраціональність, доцільною є заміна

.

Розкладемо підінтегральну раціональну функцію на суму найпростіших:

.

Приведемо праву частину до спільного знаменника:

.

Тоді

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях :

Після розв’язання отриманої системи:

.

Тоді

(6.3)

Для того, щоб отримати шукане значення, треба повернутися зо старої змінної, підставивши в (6.3) .

Вид 2. , (6.4)

де — раціональні числа.

Умови Чебишева. Інтеграл (6.4) може бути виражений через скінченну комбінацію елементарних функцій лише в трьох наступних випадках:

1. Коли — ціле число;

2. Коли — ціле число. Тут доцільною є заміна змінної:

,

де — знаменник дробу ;

3. Коли — ціле число. У цьому випадку проведемо деякі еквівалентні перетворення в підінтегральній функції:

.

Тут доцільною буде заміна змінної:

,

де — знаменник дробу .

Приклад 58. .

Приклад 59. .

Представимо шуканий інтеграл в виді (6.4):

Підінтегральна функція в останньому інтегралі — правильний раціональний дріб. Розкладемо її на суму найпростіших:

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях :

Після розв’язання отриманої системи:

.

Тоді

7. Інтегрування тригонометричних функцій

Вид 1. , (7.1)

де — цілі числа.

Вид 1.1. Нехай — непарне додатне число, тоді

Вид 1.2. Нехай — непарне додатне число, тоді рішення аналогічне попередньому, лише заміна змінної буде мати вигляд:

.

Приклад 60. .

Приклад 61. .

Вид 1.3. Якщо — парні невід’ємні числа, то підінтегральний вираз в (7.1) перетворюється за допомогою формул:

, (7.2)

які дають можливість зменшити показники степені в підінтегральній функції.

Приклад 62. .

(7.3)

Розглянемо інтеграли, що залишилися:

Підставляючи отримані значення в (7.3), повертаючись до старої змінної , знайдемо шуканий інтеграл.

Перетворення підінтегральної функції в поданому інтегралі можна було провести і інакше, користуючись тими ж формулами (7.2):

Вид 1.4. Якщо — цілі від’ємні числа однакової парності (обидва парні чи обидва непарні), то

(7.4)

Приклад 63. .

Приклад 64. .

В загальному випадку

(7.5)

Вид 2. , , (7.6)

де — ціле додатне число.

Обчислюються інтеграли (7.6) за допомогою формул:

. (7.7)

Приклад 65. .

Приклад 66. .

Вид 3. . (7.8)

Інтеграли (7.8) обчислюються за допомогою наступних тригонометричних тотожностей:

(7.9)

Приклад 67. .

Приклад 68. .

Щоб отримати інтеграл виду (7.8), перетворимо підінтегральну функцію:

.

Тоді

Приклад 69. .

Перетворимо підінтегральну функцію за допомогою формул (7.9):

Тоді

Вид 4. , (7.10)

де — раціональна функція.

Такі інтеграли обчислюються за допомогою заміни змінної, яка називається універсальною тригонометричною підстановкою:

. (7.11)

Оскільки мають місце тригонометричні тотожності

, (7.12)

для заміни (7.11):

(7.13)

З формули (7.11) отримуємо, що

. (7.14)

За допомогою заміни (7.11) інтеграли (7.10) приводяться до інтегралів від раціональних функцій нової змінної .

Приклад 70. .

Підінтегральна функція є раціональною функцією від . Застосуємо універсальну тригонометричну підстановку:

Якщо має місце тотожність

,

то для приведення інтеграла (7.10) к раціональному виду можна використовувати заміну:

. (7.15)

Оскільки, як відомо з тригонометрії,

то при заміні (7.15) отримаємо

.

Приклад 71. .

Підінтегральній функції притаманна властивість:

,

тому

Звернемо увагу на те, що використання універсальної тригонометричної підстановки в цьому прикладі теж можливе. Така заміна теж приведе поданий інтеграл до раціонального виду, але цей вид буде складнішим:

,

що очевидно робе заміну (7.15) приоритетнішою.

Ще більше спрощення обчислення поданого інтегралу отримаємо, якщо штучно поділимо чисельник та знаменник на :

.