2.2. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными

(3.25)

В этом и в разделе мы разовьем аппарат, необходимый для рассмотрения

неоднородной системы (3.19) с определителем, равным нулю. Сначала рассмотрим

однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

++= 0,+= 0

Если все три определителя второго порядка, которые можно составить из матрицы

(3.26)

равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 коэффициенты первого из

уравнений (3.25) пропорциональны соответствующим коэффициентам второго из этих

уравнений. Стало быть, в этом случае второе уравнение (3.25) является

следствием первого, и его можно отбросить. Но одно уравнение с тремя

неизвестными

+

+= 0, естественно,

имеет бесчисленное множество решений (двум неизвестным можно предписывать

произвольные значения, а третье неизвестное определять из уравнения).

Рассмотрим теперь систему (3.25) для случая, когда хотя бы один из

определителей второго порядка, составленных из матрицы (3.26), отличен

от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что отличен от нуля

определитель

(3.27)

0

Тогда мы можем переписать систему (3.25) в виде

+=,

+ =

и утверждать, что для каждого z существует единственное решение этой системы,

определяемое формулами Крамера (см. разд. 1.2, формулы (3.8)):

(3.28)

, .

Далее удобно использовать алгебраические дополнения

, и

элементов третьей строки определителя:

В силу результатов разд. 1.5 о связи алгебраических дополнений и миноров

можно записать

(3.29)

= ,=,=.

Основываясь на (3.29), мы можем переписать формулы (3.28) в виде

(3.30)

, .

Для того чтобы получить решение в виде, симметричном относительно всех

неизвестных х, у, и z, положим

(отметим, что в силу (3.27) определитель

отличен от нуля). Поскольку z может принимать любые значения, то и новая

переменная t может принимать любые значения.

(3.31)

Мы приходим к выводу, что в случае, когда определитель (3.27) отличен от

нуля, однородная система (3.25) имеет бесчисленное множество решений,

определяемых формулами

, ,,

в которых t принимает какие угодно значения, а алгебраические дополнения

, и

определяются формулами (3.29).

2.3. Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим теперь однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными:

(3.32)

++= 0,

+ = 0,

++= 0.

Очевидно, что эта система всегда имеет так называемое тривиальное решение: х

= 0, у = 0, z = 0.

В случае, когда определитель системы

, это тривиальное решение является единственным (в силу разд. 2.1).

Докажем, что в случае, когда определитель

равен нулю, однородная система (3.32) имеет бесчисленное множество решений.

Если все определители второго порядка, которые можно составить из матрицы

равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 соответствующие коэффициенты всех

трех уравнений (3.32) пропорциональны. Но тогда второе и третье уравнения

(3.32) являются следствиями первого и могут быть отброшены, а одно уравнение

+

+= 0, как уже

отмечалось в разд. 2.2, имеет бесчисленное множество решений.

Остается рассмотреть случай, когда хотя бы один минор матрицы (3.33)

отличен от нуля. Так как порядок следования уравнений и неизвестных находится в

нашем распоряжении, то, не ограничивая общности, мы можем считать, что отличен

от нуля определитель (3.27). Но тогда, как установлено в разд. 2.2, система

первых двух уравнений (3.32) имеет бесчисленное множество решений,

определяемых формулами (3.31) (при любом t).

Остается доказать, что х, у, z, определяемые формулами (3.31) (при любом t,

обращают в тождество и третье уравнение (3.32). Подставляя в левую часть

третьего уравнения (3.32) х, у и z, определяемые формулами (3.31), получим

Мы воспользовались тем, что в силу свойства 9 выражение в круглых скобках равно

определителю

системы (3.32). Но определитель

по условию равен нулю, и поэтому при любом t мы получим

+

+= 0.

Итак, доказано, что однородная система (3.32) с определителем А. равным

нулю, имеет бесчисленное множество решений. Если отличен от нуля минор

(3.27), то эти решения определяются формулами (3.31) при произвольно взятом t.

Полученный результат можно сформулировать еще и так: однородная система

(3.32) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда

определитель ее равен нулю.