dx

=

dy

=

dz

= d (x + y + z) .

x + z

y + z

x + y

2(x + y + z)

Далее выберем k1 = −k2 =1, k3 = 0 , тогда

dx

=

dy

=

dz

=

1dx −1dy +0dz

= d (x − y) .

x + z

y + z

x + y

1(x + z) −1( y + z) +0(x + y)

x − y

d (x + y + z) = d (x − y)

. Получаем

2(x + y + z)

x − y

1 ln

x + y + z

= ln

x − y

+C x + y + z = C (x − y)2 ,

2

1

1

C

=

x + y + z

. Зная первый интеграл, выразим z :

следовательно,

один первый интеграл найден:

1

(x − y)2

z = C (x − y)2 − x − y и подставим его в первое уравнение системы

dx

=

dy

.

1

x + z

y + z

Получим:

(C (x − y)2 − x)dx = (C (x − y)2 − y)dy

1

1

y2

− x2

C

(x − y)2 d (x − y) + d

= 0

1

2

(x − y)3

y2

− x2

C

+

= C

2

.

1

3

2

Далее, обратно заменяя первый интеграл C

=

x + y + z

, окончательно записываем еще один не-

1

(x − y)2

зависимый первый интеграл

y2

− x2

C2 =

+(x + y + z)(x − y) .

2

Общее решение принимает неявный вид

x + y + z

y

2 − x2

F

,

+

(x − y)(x + y + z)

= 0 .

2

(x − y)

2

а) y2 zx = x2 z y ;

б) ex zx + y3z y = yex ;

в) 2 y4 zx − xyz y = x 1 + z2 ;

г) xux + yuy + zuz = 0 .

1 ∂z

+ xz

∂z

= xe y .

2z ∂x

∂y