1.3.1.

∫x2ex dx .

1.3.2.

∫x3 cos xdx .

1.3.3.

∫x 2x dx .

1.3.4.

∫

x

dx .

2

x

cos

1.3.5.

∫ ln x dx .

1.3.6.

∫ xarctgxdx .

x

1.3.7.

∫

arcsin

x dx .

1.3.8.

∫ex (cos x −sin x)dx .

1− x

1.3.9.

∫

x2 + 4dx .

1.3.10.

∫arctg

x −1dx .

1.3.11.

∫earcsin x dx .

1.3.12.

∫x2 ln2 xdx .

1.3.13.

∫

dx

.

1.3.14.

∫sin(ln x)dx .

3

(x2 +1)

1.3.15.

∫(3x2 + 4x +5)ex dx .

1.3.16.

∫(3x2 +5x +5)cos xdx .

1.3.17.

∫(3x2 +3x + 2)sin xdx .

1.3.18.

∫x2 ln xdx .

1.3.19.

∫(3x2 +5x +5)ex dx .

1.3.20.

∫(x2 + x + 4)cos xdx .

1.3.21.

∫(4x2 +5x + 2)sin xdx .

1.3.22.

∫3

x ln xdx .

1.3.23.

Выведите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Приведите пример.

Будем

предполагать,

что

дробь

несократимая,

правильная

A1

A2

Ak

1-й тип −

+

+K

;

x −α

(x −α)2

(x −α)k

2-й тип −

B1x +C1

+

B2 x +C2

+K

Bl x +Cl

,

x2 + px +q

(x2 + px + q)2

(x2 + px +q)l

∫

dx

=

1

[

x

+(2т+3)∫

dx

] .

(x2

+ a2 )

(n −1)a

(x2 + a2 )

(x2 +a2 )

Примеры

1. ∫

dx

.

x

2

−1

− 1)(x +

1), поэтому ищем разложение на простейшие дроби в виде

1

=

A1

+

A2

. Приравнивая

x2 −1

x −

1

x +

1

числители слева и справа, получим

1 = A1(x + 1) + A2(x − 1).

Подставляя x = 1, находим 1 = 2A

, A =

1

. Подставляя x = −1, находим 1 = −2A , так что A = −

1

.

1

1

2

2

2

2

Тогда

∫

dx

=

1

∫

dx

−

1

∫

dx

=

1

ln

x −1

−

1

ln

x +1

+C .

x

2

x −1

x +1

2.

x2

+2

−1

2

2

2

2

I = ∫

dx .

3

(x +1) (x −2)

искать в следующем виде:

x2 + 2

A

B

1

B

B

(x +1)3 (x − 2)= x −2

+ x +

+ (x +1)2

+ (x +1)3 .

1

2

3

слагаемых, так что 0 = A + B

, откуда B = −

2

.

1

1

9

Наконец, чтобы найти коэффициент B2, подставим x = 0. Получим

1

2 = A − 2B1 − 2B2 − 2B3,

так что B =

. Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет следующий вид:

2

3

x2 + 2

2

2

1

1

=

−

+

−

.

(x +1)3 (x −2)

9(x −2)

9(x +1)

3(x +1)2

(x +1)3

Поэтому интеграл I

находится непосредственно

I =

2

∫

dx

−

2

∫

dx

+

1

∫

dx

−

∫

dx

=

2

3

9 x − 2

9 x +1

3

(x +1)

(x +1)

=

2

∫

d(x −2)

−

2

∫

d(x +1)

+

1

∫(x +1)−2 d(x +1)− ∫(x +1)−3 d(x +3)=

9

x +1

3

x −2

9

2

x −2

2

x +1

1

2

+C .

=

ln

−

ln

−

+

9

9

x +1

(x +1)2

3.

I = ∫

t7 + 2t5

dt .

(t

+1)(t2 +1)

t7 + 2t5

= t4 −t3

+ 2t2 −2t +1 −

t2 −t +1

.

(t +1)(t2 +1)

(t +1)(t2 +1)

Разложим полученную правильную дробь на простейшие:

t2 −t +1

A

Bt +C

=

+

.

(t +1)(t2 +1)

t +1

t2 +1

t 2 − t + 1 = A(t 2 + 1) + (Bt + C)(t + 1).

Подставляя t = −1, получим 3 = 2 A,

A =

3

. Подставляя t = 0, найдем C:

1 = A + C, C = −

1

. Наконец,

2

2

1

приравнивая коэффициенты при t2, получим 1 = A + B, B = −

. Таким образом,

2

I = ∫

t7 + 2t5

dt

=

∫(t4 −t3 + 2t2 −2t +1)dt −

3

∫

dt

+ 1

∫

t +1

dt =

(t

+1)(t2 +1)

2

t +1 2

t2 +1

t5

−

t4

+

2t3

−t2 +t

−

3

ln

t +

1

+

1

∫

2tdt

+

1

∫

dt

=

2

2

5

4

3

2

4

t

+1 2

t

+

1

=

t5

−

t4

+

2t3

−t

2 −

3

ln

t +1

+

1

ln(t2 +

1)+

1

arctgt +C .

4

2

5

4

3

2

4.

I

= ∫

3x4

+ x3 + 4x2 +

1

dx = ∫

3x4

+ x3 + 4x2 +1

dx .

x

+ 2x

+ x

x

(x2 +1)

Представим подынтегральную функцию в следующем виде:

3x4 + x3 + 4x2 +1

=

A

+

C x + D

C x + D

x(x2 +1)2