3.1.2.2. Звичайний Крігінг

Це найбільш розповсюджений методі крігінгу в основному завдяки його «реалістичним» припущенням. Нехай {Z(x)}, x є Rⁿ внутрішнє стаціонарне випадкове поле і [z(x1),… ,z(xN)] регіоналізована змінна. Значення цього поля невідоме, проте воно є ідентичним на одній ділянці. Очевидно, що:

Необхідно спрогнозувати значення невідомого в точці x0 і для цього використаємо таку форму:

Ваги з (3-32) мають бути відомими. Необхідними є додаткові умови, оскільки значення виразу (3-32) повинно дорівнювати значенню константи випадкового поля. В статистиці така оціночна функція називається неупередженою. З іншого боку, необіхдно слідкувати, щоб сума ваг дорівнювала одиниці, тому що в окремих випадках, коли всі виміри дорівнюють константі, оціночне значення також повинне дорівнювати цій константі. Таким чином, вимагається, щоб:

Використовуючи (3-31)-(3-33), можемо довести, що:

Мінімізуючи оціночну дисперсію необхідно також прийняти обмеження для ваг (3-33):

Проблему (3-35) можна сформулювати по-іншому, використовуючи так званий коефіцієнт Лагранжа L, як:

Розв’язок (3-35`) приводить до N + 1 часткових розв’язків:

Після деяких спрощень це прямує до розв’язку з такої системи методом найменших квадратів:

Оцінене значення обчислюється з заданими значеннями z регіоналізованої змінної для

Точність оцінки, дисперсія крігінгу, може бути отримана з (3-35) до

Зауваження: Звичайний крігінг є також точним інтерполятором, тому що оцінене значення в даному прикладі точки є ідентичним з значенням z в цій же ж точці. Згідно з Розділом 3.1.1 можна твердити, що умова інтерполяція задовольняється.

Приклад 3.1.2.3 Знову використаємо прості дані вибрані з Прикладу 3.1.2.2 і протестуємо, як працює звичайний крігінг. Припущенням про точне значення випадкового поля можна знехтувати. Нам лише потрібно знати, що це значення є сталим на даній ділянці. Локальна змінна приймає наступні значення:

Хочемо спрогнозувати значення z в точці x0 = 0.5, використовуючи його найближчих сусідів x1 = 0, x2 = 1. Іншими словами вибираємо такий визначник:

Мінімізуючи оціночну дисперсію (Fct) з обмеженнями в вазі, ми отримаємо:

Ми досі відповідаємо модельній варіограмі (*.2) для даних з Прикладу (3.1.2.2) і можемо обчислити:

Деякі приклади модельних варіограм і методи їх вибору були описані вище. Вираз (*.2) описує проблему мінімізації функції двох змінних з додатковим обмеженням в вагах. Використовуючи часткові висновки і зважаючи на α1, α2, L,отримаємо:

Рішення залежить строго від підібраної варфограмної моделі. Після встановлення всіх параметрів отримаємо оцінене значенняz в точці x0 = 0.5 з:

Дисперсія крігінгу може бути отримана з (*.2) з використанням таких параметрів:

3.1.2.3 Універсальний крігінг

Універсальний крігінг є просторовим множинним регресивним методом реалізації моделі, що розбиває випадкове поле на дві частини. Перша частина відповідає лінійній комбінації (M+1) визначальних функцій, що є відомими в будь-якій точці даної ділянки. Друга частина є випадковою складовою, яку називають залишковою випадковою функцією. Ця узагальнена модель вимагає додаткових уточнень.

Нехай буде випадковим полем, що може бути розбите на дві частини: визначальну частину, яку зазвичай називають дрейфуючою і стохастичну частину зі значенням 0

Дрейфуюча складова може бути представлена такою сумою:

і приймемо , що є регіональною змінною. Ми оцінюємо невідоме значення в точціx0, використовуючи таку форму визначника:

Ми шукаємо оцінку – це значення різниці між визначником з (3-41) і істинною, але невідомою випадковою змінною в точці x0 повинно дорівнювати 0:

Для сталої функції f0(x) це умова подібна до умови в звичайному крігінгу:

Розвиваючи вираз для оцінки дисперсії, застосовуючи обмеження до об’єктивної функції разом з множниками Лагранжа L₀, …,L_M, і мінімізуючи, отримаємо:

і таку систему лінійних рівнянь:

і в матричному виразі:

Після розв’язання (3-43’) обертанням матриці, ми отримуємо ваги, як частину розв’язку вектор . Таким чином прогноз в точціx0 може бути представлений, використовуючи задані значення z регіональної змінної:

Точність цієї оцінки дається дисперсією універсального крігінгу:

Більше про різні методи крігінгу і їх узагальнення можна знайти в Wackernagel (1995).