Прогноз аномалій сили ваги
Одним із застосувань розглянутого метода є прогнозування аномалій сили ваги. Нехай аномалії сили ваги {,} виміряні із середніми квадратичними помилками { } в точках. Необхідно знайти аномалію сили ваги в точці
(34)
В цьому частковому випадоку, коли сигнал 5 складається лише з одного елемента, коваріаційна матриця стає - вимірним вектором-рядком
(35)
оцінка (30) приймає вигляд
(36)
а квадрат її середньої квадратичної помилки – вигляд
(37)
де С0-дисперсія поля аномалій сили ваги. Вводячи k – вимірний вектор
(38)
можемо записати співвідношення, які є зручними для практичного використання:
(39)
(40)
Коваріаційні функції для прогнозу аномалій сили ваги
Розглянута вище задача прогнозування аномалій сили ваги не пов’язана з використанням неоднорідних даних. Тому для обчислення необхідних коваріацій можна користуватись досить простими аналітичними виразами, уникаючи складних перетворень основної коваріаційної функції (19). Найпростішими коваріаційними функціями є коваріаційна функція Гаусса
(41)
і коваріаційна функція оберненої відстані
(42)
де С0 і а - параметри, які повинні бути узгодженими з полем виміряних аномалій сили ваги.
Оскільки при r = 0 обидві функції дають
(43)
то, очевидно. С0Є нічим іншим, як дисперсією поля виміряних аномалій сили ваги, яка є першим суттєвим параметром коваріаційної функції. Другий суттєвий параметр - це довжина кореляції, яка визначається як таке найменше значення Dвідстані r, при якому
(44)
Ця умова дає змогу знайти зв’язок між параметром а функцій (41),(42) і
Довжиною кореляції.А саме, розглядаючи (44) як рівняння відносно а,маємо дляфункції Гауса
(45)
а для функції оберненої відстані
(46)
З врахуванням цього функція Гаусса може бути записаною у формі
(47)
а функція оберненої відстані - у формі
(48)
На жаль» функція Гаусса, яка добре відома в теорії ймовірностей, може бути лише формально використана для прогнозу аномалій сили ваги, оскільки вона не має гармонічного продовження у зовнішній простір. Тому надалі доцільно використовувати коваріаційну функцію оберненої відстані (42).
(49)
Для визначення таких значень суттєвих параметрів коваріаційних функцій, які були би узгодженими з полем виміряних аномалій сили ваги, будують емпіричну коваріаційну функцію. Для цього область зміни відстані між точками вимірювань розбивається на кілька інтервалів довжиною Δr. Емпіричні значення коваріаційної функції обчислюються шляхом осереднення добутків аномалій сили ваги в точках, відстань між якими знаходиться в певному інтервалі:
(50)
(51)
(52)
Дисперсія поля обчислюється за формулою
(53)
Довжина кореляції визначається шляхом оберненого лінійного інтерполювання.
Якщо
(54)
То
(55)
Результати обчислень наведені в додатку 1.
Результати обчислень
Поле вихідних аномалій сили ваги:
|
X/Y, км |
30,3333 |
30,3637 |
30,4 |
30,4333 |
30,4667 |
Σ |
|
48,85 |
4,342 |
3,454 |
3,359 |
4,005 |
5,035 |
20,195 |
|
48,8833 |
5,477 |
4,123 |
3,574 |
3,76 |
4,321 |
21,255 |
|
48,9167 |
6,151 |
4,376 |
3,323 |
2,956 |
3,019 |
19,825 |
|
48,95 |
6,94 |
4,812 |
3,3 |
2,419 |
2,05 |
19,521 |
|
48,9833 |
8,276 |
5,794 |
3,863 |
2,546 |
1,842 |
22,321 |
|
Σ |
31,186 |
22,559 |
17,419 |
15,686 |
16,267 |
103,12 |
|
|
|
|
|
|
|
103,12 |
Центроване поле аномалій сили ваги:
|
|
30,3333 |
30,3637 |
30,4 |
30,4333 |
30,4667 |
|
|
48,85 |
0,2 |
-0,7 |
-0,8 |
-0,1 |
0,9 |
-0,4 |
|
48,8833 |
1,4 |
0,0 |
-0,6 |
-0,4 |
0,2 |
0,6 |
|
48,9167 |
2,0 |
0,3 |
-0,8 |
-1,2 |
-1,1 |
-0,8 |
|
48,95 |
2,8 |
0,7 |
-0,8 |
-1,7 |
-2,1 |
-1,1 |
|
48,9833 |
4,2 |
1,7 |
-0,3 |
-1,6 |
-2,3 |
1,7 |
|
|
10,6 |
1,9 |
-3,2 |
-4,9 |
-4,4 |
0,0 |
Обчислення елементарних коваріацій:
|
X |
Y |
Δg |
cov1,n |
r1,n |
m |
cov2,n |
r2,n |
m |
cov3,n |
r3,n |
m |
|
49 |
30 |
0,2 |
0,0 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
49 |
30 |
1,4 |
0,3 |
0,0 |
1 |
1,8 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
49 |
30 |
2,0 |
0,4 |
0,1 |
2 |
2,7 |
0,0 |
1 |
4,1 |
0,0 |
0 |
|
49 |
30 |
2,8 |
0,6 |
0,1 |
3 |
3,8 |
0,1 |
2 |
5,7 |
0,0 |
1 |
|
49 |
30 |
4,2 |
0,9 |
0,1 |
4 |
5,6 |
0,1 |
3 |
8,4 |
0,1 |
2 |
|
49 |
30 |
-0,7 |
-0,1 |
0,0 |
1 |
-0,9 |
0,0 |
2 |
-1,4 |
0,1 |
2 |
|
49 |
30 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
2 |
0,0 |
0,0 |
1 |
0,0 |
0,0 |
2 |
|
49 |
30 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
2 |
0,3 |
0,0 |
2 |
0,5 |
0,0 |
1 |
|
49 |
30 |
0,7 |
0,1 |
0,1 |
3 |
0,9 |
0,1 |
2 |
1,4 |
0,0 |
2 |
|
49 |
30 |
1,7 |
0,4 |
0,1 |
4 |
2,3 |
0,1 |
3 |
3,4 |
0,1 |
2 |
|
49 |
30 |
-0,8 |
-0,2 |
0,1 |
2 |
-1,0 |
0,1 |
2 |
-1,6 |
0,1 |
3 |
|
49 |
30 |
-0,6 |
-0,1 |
0,1 |
2 |
-0,7 |
0,1 |
2 |
-1,1 |
0,1 |
2 |
|
49 |
30 |
-0,8 |
-0,2 |
0,1 |
3 |
-1,1 |
0,1 |
2 |
-1,6 |
0,1 |
2 |
|
49 |
30 |
-0,8 |
-0,2 |
0,1 |
4 |
-1,1 |
0,1 |
3 |
-1,7 |
0,1 |
2 |
|
49 |
30 |
-0,3 |
-0,1 |
0,1 |
4 |
-0,4 |
0,1 |
4 |
-0,5 |
0,1 |
3 |
|
49 |
30 |
-0,1 |
0,0 |
0,1 |
3 |
-0,2 |
0,1 |
3 |
-0,2 |
0,1 |
4 |
|
49 |
30 |
-0,4 |
-0,1 |
0,1 |
3 |
-0,5 |
0,1 |
3 |
-0,7 |
0,1 |
3 |
|
49 |
30 |
-1,2 |
-0,3 |
0,1 |
4 |
-1,6 |
0,1 |
3 |
-2,4 |
0,1 |
3 |
|
49 |
30 |
-1,7 |
-0,4 |
0,1 |
4 |
-2,3 |
0,1 |
4 |
-3,5 |
0,1 |
3 |
|
49 |
30 |
-1,6 |
-0,3 |
0,2 |
5 |
-2,1 |
0,1 |
4 |
-3,2 |
0,1 |
4 |
|
49 |
30 |
0,9 |
0,2 |
0,1 |
4 |
1,2 |
0,1 |
4 |
1,8 |
0,1 |
4 |
|
49 |
30 |
0,2 |
0,0 |
0,1 |
4 |
0,3 |
0,1 |
4 |
0,4 |
0,1 |
4 |
|
49 |
30 |
-1,1 |
-0,2 |
0,1 |
4 |
-1,5 |
0,1 |
4 |
-2,2 |
0,1 |
4 |
|
49 |
30 |
-2,1 |
-0,5 |
0,2 |
5 |
-2,8 |
0,1 |
4 |
-4,2 |
0,1 |
4 |
|
49 |
30 |
-2,3 |
-0,5 |
0,2 |
5 |
-3,1 |
0,2 |
5 |
-4,6 |
0,1 |
4 |
|
cov4,n |
r4,n |
m |
cov5,n |
r5,n |
m |
cov6,n |
r6,n |
m |
cov7,n |
r1,n |
m |
|
7,9 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,7 |
0,0 |
1 |
17,2 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
-1,9 |
0,1 |
3 |
-2,8 |
0,1 |
4 |
0,4 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
0,0 |
0,1 |
2 |
0,0 |
0,1 |
3 |
0,0 |
0,0 |
1 |
0,0 |
0,0 |
0 |
|
0,7 |
0,0 |
2 |
1,0 |
0,1 |
2 |
-0,2 |
0,1 |
2 |
0,0 |
0,0 |
1 |
|
1,9 |
0,0 |
1 |
2,9 |
0,0 |
2 |
-0,5 |
0,1 |
3 |
0,0 |
0,1 |
2 |
|
4,7 |
0,0 |
2 |
6,9 |
0,0 |
1 |
-1,1 |
0,1 |
4 |
0,0 |
0,1 |
3 |
|
-2,2 |
0,1 |
4 |
-3,2 |
0,1 |
4 |
0,5 |
0,0 |
1 |
0,0 |
0,0 |
2 |
|
-1,6 |
0,1 |
3 |
-2,3 |
0,1 |
4 |
0,4 |
0,0 |
2 |
0,0 |
0,0 |
1 |
|
-2,3 |
0,1 |
2 |
-3,3 |
0,1 |
3 |
0,5 |
0,1 |
3 |
0,0 |
0,0 |
2 |
|
-2,3 |
0,1 |
2 |
-3,4 |
0,1 |
2 |
0,6 |
0,1 |
3 |
0,0 |
0,1 |
3 |
|
-0,7 |
0,1 |
2 |
-1,1 |
0,1 |
2 |
0,2 |
0,1 |
4 |
0,0 |
0,1 |
3 |
|
-0,3 |
0,1 |
4 |
-0,5 |
0,2 |
5 |
0,1 |
0,1 |
2 |
0,0 |
0,1 |
3 |
|
-1,0 |
0,1 |
4 |
-1,5 |
0,1 |
4 |
0,2 |
0,1 |
3 |
0,0 |
0,1 |
2 |
|
-3,3 |
0,1 |
3 |
-4,9 |
0,1 |
4 |
0,8 |
0,1 |
3 |
0,0 |
0,1 |
3 |
|
-4,8 |
0,1 |
3 |
-7,1 |
0,1 |
3 |
1,1 |
0,1 |
4 |
0,0 |
0,1 |
3 |
|
-4,4 |
0,1 |
3 |
-6,6 |
0,1 |
3 |
1,1 |
0,2 |
4 |
0,0 |
0,1 |
4 |
|
2,6 |
0,2 |
5 |
3,8 |
0,2 |
5 |
-0,6 |
0,1 |
3 |
0,0 |
0,1 |
3 |
|
0,6 |
0,1 |
4 |
0,8 |
0,2 |
5 |
-0,1 |
0,1 |
3 |
0,0 |
0,1 |
3 |
|
-3,1 |
0,1 |
4 |
-4,6 |
0,1 |
4 |
0,7 |
0,1 |
4 |
0,0 |
0,1 |
3 |
|
-5,8 |
0,1 |
4 |
-8,6 |
0,1 |
4 |
1,4 |
0,1 |
4 |
0,0 |
0,1 |
4 |
|
-6,4 |
0,1 |
4 |
-9,5 |
0,1 |
4 |
1,5 |
0,2 |
5 |
0,0 |
0,1 |
4 |
|
cov8,n |
r8,n |
m |
cov9,n |
r9,n |
m |
cov10,n |
r10,n |
m |
cov11,n |
r11,n |
m |
|
0,1 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
0,0 |
1 |
0,5 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
0,1 |
2 |
1,1 |
0,0 |
1 |
2,8 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
-0,2 |
0,1 |
3 |
-0,5 |
0,1 |
3 |
-1,3 |
0,1 |
4 |
0,6 |
0,0 |
0 |
|
-0,1 |
0,0 |
2 |
-0,4 |
0,1 |
3 |
-0,9 |
0,1 |
3 |
0,4 |
0,0 |
1 |
|
-0,2 |
0,0 |
1 |
-0,6 |
0,0 |
2 |
-1,3 |
0,1 |
3 |
0,6 |
0,1 |
2 |
|
-0,2 |
0,0 |
2 |
-0,6 |
0,0 |
1 |
-1,4 |
0,0 |
2 |
0,6 |
0,1 |
3 |
|
-0,1 |
0,1 |
3 |
-0,2 |
0,0 |
2 |
-0,4 |
0,0 |
1 |
0,2 |
0,1 |
4 |
|
0,0 |
0,1 |
3 |
-0,1 |
0,1 |
4 |
-0,2 |
0,2 |
4 |
0,1 |
0,0 |
1 |
|
-0,1 |
0,1 |
3 |
-0,3 |
0,1 |
3 |
-0,6 |
0,1 |
4 |
0,3 |
0,0 |
2 |
|
-0,3 |
0,1 |
2 |
-0,8 |
0,1 |
3 |
-2,0 |
0,1 |
3 |
0,9 |
0,1 |
2 |
|
-0,4 |
0,1 |
3 |
-1,2 |
0,1 |
2 |
-2,8 |
0,1 |
3 |
1,3 |
0,1 |
3 |
|
-0,4 |
0,1 |
3 |
-1,1 |
0,1 |
3 |
-2,6 |
0,1 |
2 |
1,2 |
0,1 |
4 |
|
0,2 |
0,1 |
4 |
0,6 |
0,1 |
4 |
1,5 |
0,2 |
5 |
-0,7 |
0,1 |
2 |
|
0,0 |
0,1 |
3 |
0,1 |
0,1 |
4 |
0,3 |
0,1 |
4 |
-0,2 |
0,1 |
2 |
|
-0,3 |
0,1 |
3 |
-0,8 |
0,1 |
3 |
-1,8 |
0,1 |
4 |
0,8 |
0,1 |
3 |
|
-0,5 |
0,1 |
3 |
-1,4 |
0,1 |
3 |
-3,5 |
0,1 |
3 |
1,6 |
0,1 |
4 |
|
-0,6 |
0,1 |
4 |
-1,6 |
0,1 |
3 |
-3,8 |
0,1 |
3 |
1,7 |
0,1 |
4 |
|
cov12,n |
r12,n |
m |
cov13,n |
r13,n |
m |
cov14,n |
r14,n |
m |
cov15,n |
r15,n |
m |
|
0,3 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
0,0 |
1 |
0,6 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
0,1 |
2 |
0,7 |
0,0 |
1 |
0,7 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
0,1 |
0,1 |
3 |
0,2 |
0,1 |
2 |
0,2 |
0,0 |
1 |
0,1 |
0,0 |
0 |
|
0,1 |
0,0 |
2 |
0,1 |
0,1 |
2 |
0,1 |
0,1 |
3 |
0,0 |
0,1 |
4 |
|
0,2 |
0,0 |
1 |
0,3 |
0,0 |
2 |
0,3 |
0,1 |
2 |
0,1 |
0,1 |
3 |
|
0,6 |
0,0 |
2 |
0,9 |
0,0 |
1 |
1,0 |
0,0 |
2 |
0,3 |
0,1 |
2 |
|
0,9 |
0,1 |
2 |
1,4 |
0,0 |
2 |
1,4 |
0,0 |
1 |
0,4 |
0,0 |
2 |
|
0,9 |
0,1 |
3 |
1,3 |
0,1 |
2 |
1,3 |
0,0 |
2 |
0,4 |
0,0 |
1 |
|
-0,5 |
0,1 |
2 |
-0,7 |
0,1 |
3 |
-0,8 |
0,1 |
4 |
-0,2 |
0,1 |
4 |
|
-0,1 |
0,1 |
2 |
-0,2 |
0,1 |
2 |
-0,2 |
0,1 |
3 |
-0,1 |
0,1 |
4 |
|
0,6 |
0,1 |
2 |
0,9 |
0,1 |
2 |
0,9 |
0,1 |
2 |
0,3 |
0,1 |
3 |
|
1,1 |
0,1 |
3 |
1,7 |
0,1 |
2 |
1,7 |
0,1 |
2 |
0,5 |
0,1 |
2 |
|
1,3 |
0,1 |
4 |
1,8 |
0,1 |
3 |
1,9 |
0,1 |
2 |
0,6 |
0,1 |
2 |
|
cov16,n |
r16,n |
m |
cov17,n |
r17,n |
m |
cov18,n |
r18,n |
m |
cov19,n |
r19,n |
m |
|
0,0 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
0,0 |
1 |
0,1 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,1 |
2 |
0,4 |
0,0 |
1 |
1,4 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
0,2 |
0,1 |
3 |
0,6 |
0,1 |
2 |
2,0 |
0,0 |
1 |
2,9 |
0,0 |
0 |
|
0,2 |
0,1 |
4 |
0,6 |
0,1 |
3 |
1,8 |
0,1 |
2 |
2,7 |
0,0 |
1 |
|
-0,1 |
0,0 |
1 |
-0,3 |
0,0 |
2 |
-1,1 |
0,1 |
2 |
-1,6 |
0,1 |
3 |
|
0,0 |
0,0 |
2 |
-0,1 |
0,0 |
1 |
-0,2 |
0,0 |
2 |
-0,3 |
0,1 |
2 |
|
0,1 |
0,1 |
2 |
0,4 |
0,0 |
2 |
1,3 |
0,0 |
1 |
1,9 |
0,0 |
2 |
|
0,2 |
0,1 |
3 |
0,8 |
0,1 |
2 |
2,4 |
0,0 |
2 |
3,5 |
0,0 |
1 |
|
0,3 |
0,1 |
4 |
0,8 |
0,1 |
3 |
2,7 |
0,1 |
2 |
3,9 |
0,0 |
2 |
|
cov20,n |
r20,n |
m |
cov21,n |
r21,n |
m |
cov22,n |
r22,n |
m |
cov23,n |
r23,n |
m |
|
2,5 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1,4 |
0,1 |
4 |
0,8 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
-0,3 |
0,1 |
3 |
0,2 |
0,0 |
1 |
0,0 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
1,7 |
0,1 |
2 |
-1,0 |
0,1 |
2 |
-0,2 |
0,0 |
1 |
1,2 |
0,0 |
0 |
|
3,3 |
0,0 |
2 |
-1,9 |
0,1 |
3 |
-0,4 |
0,1 |
2 |
2,3 |
0,0 |
1 |
|
3,6 |
0,0 |
1 |
-2,1 |
0,1 |
4 |
-0,4 |
0,1 |
3 |
2,5 |
0,1 |
2 |
|
cov24,n |
r24,n |
m |
cov25,n |
r25,n |
m |
|
4,3 |
0,0 |
0 |
|
|
|
|
4,7 |
0,0 |
1 |
5,2 |
0,0 |
0 |
Емпірична коваріаційна функція:
|
Номер інтервалу m |
Відстань між точками r, км |
кількість добутків |
r, km |
C(r), мГал2 |
|
0 |
|
25 |
0,0 |
2,2 |
|
1 |
|
40 |
0,0 |
1,4 |
|
2 |
|
96 |
0,1 |
0,4 |
|
3 |
|
84 |
0,1 |
-0,7 |
|
4 |
|
70 |
0,1 |
-1,0 |
|
5 |
|
10 |
0,2 |
0,5 |
|
Дисперсія поля Co= |
2,2 |
|
Довжина кореляції D |
0,0416 |
Аналітична коваріаційна функція С(r)=2,2/(1+3(r/0,042)2)
Графік емпіричної і аналітичної коваріаційних функцій:
