Частина I Елементи функціонального аналізу Розділ 1. Метричні простори § 1. Поняття метричного простору

В математичному аналізі ми часто зустрічаємося з поняттям границі. Причому в деяких випадках для послідовності одних і тих же об’єктів, в зв’язку з різними задачами, вводяться різні поняття границі. Всі ці поняття збіжності мають те спільне, що збіжність послідовності елементів {х_п} до елемента х₀ означає необмежене “наближення” х_п до х₀, необмежене зменшення “відстані” між цими елементами, коли номер п необмежено зростає. В залежності від того, як ми розуміємо відстань між елементами х_п і х₀, ми отримаємо різні означення границі. Тоді є зручним для деяких множин елементів дати загальне поняття відстані між елементами, а потім ввести за допомогою цієї відстані поняття границі. Такі множини називаються метричними просторами.

Означення 1.1. Множина Χ називається метричним простором, якщо для будь-яких x, y із множини Χ ставиться у відповідність дійсне число ρ(x,y) і при цьому виконуються наступні умови:

1)ρ(x,y)≥0, при чому ρ(x,y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y (аксіома тотожності);

2)ρ(x,y)=ρ(y,x) (аксіома симетрії);

3)x,y,z є Χ виконується умова ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) (аксіома трикутника).

Прикладами метричних просторів є: відрізок, 3-вимірний простір. Елементи простору називаються точками простору, ρ(x,y) називається відстанню між елементами x,y. Якщо введена відстань, то говорять, що введена метрика.

Якщо візьмемо будь-яку множину, то можна ввести метрику, поклавши ρ(x,y)=1, якщо xy і ρ(x,y)=0, якщо x=y.

§ 2. Нормований метричний простір

Надалі ми будемо використовувати поняття лінійної системи, яке розглядалося в лінійній алгебрі.

Означення 2.1.Непорожня множинаΧназиваєтьсялінійною системою над полем Р, дійсних чисел, якщо:

I.Для будь-яких двох елементів хR і уR є однозначно визначений третій елемент z=x+y, який називається їх сумою, причому

1)х+у=у+х (комутативність додавання),

2)х+(у+z)=(x+y)+z (асоціативність додавання).

II.Для будь-якого дійсного числа  і будь-якого елемента хR існує і притому єдиний елемент х, який називається добутком елемента х на число , причому ( і  - числа, х, у - елементи):

3)(х)=()х (асоціативність множення),

4)1^.х=х,

5)(х+у)=х+у (дистрибутивність множення

6)(+)х=х+х відносно додавання).

III.Існує такий елемент R, який називається нульовим, що

7) 0х= для будь-якого хR.

Означення 2.1. Лінійний система Х називається лінійним нормованим простором, якщо ставиться у відповідність дійсне число , яке задовільняє наступним умовам:

1)≥0,причому =0 тоді і тільки тоді, коли;

2), виконується рівність ;

3)для довільних з множинивиконується нерівність

Число називаєтьсянормою елемента х. Елементи множини називаютьсяточками, або векторами простору.

Якщо в лінійному нормованому просторі за відстань між елементамих, у прийняти

(2.1),

то отримаємо метричний простір.

Дійсно, з умови 1) означення 1.3 випливає, що , причомутоді і тільки тоді, коли, а це еквівалентно тому, що. Так, як, то з умови 2) означення 1.3 маємо

.

Виконання умови 3) означення метричного простору слідує з властивості 3) означення 2.1. Дійсно нехай , тоді

.

Таким чином ми переконались, що будь-який лінійний нормований простір стає метричним простором, якщо покласти . При цьому слід зауважити, що.

Зауваження 1.1 Якщо маємо лінійну систему і на ній введена матрика, то не завжди величину можна прийняти за. Справді, розглянемо множинуS всіх послідовностей дійсних чисел . Коли відстань між двома послідовностямиі, визначимо рівністю, то множинаS стане метричним простором. Якщо в цьому просторі ввести поняття суми х+у і добутку х, елементів х на дійсне число , як це робиться з послідовностями, а за нульовий елемент прийняти =(0,0,...,0), то даний метричний простір стане лінійною системою. Коли за значення норми елемента х прийняти число , то не буде виконуватись друга аксіома норми, тобтоне завжди дорівнює