Основна частина Що таке фрактал ?

Термін "фрактал" походить від латинського "fractus" - зламаний, розбитий, розчленований. Саме цією властивістю відрізняється усяка фрактальна структура від звичних фігур і тіл. Фрактал не задається в готовому вигляді, а утворюється шляхом багаторазового повторення якої-небудь вихідної форми в усе зменшуваному масштабі по визначеному алгоритмі чи формулі. Безліч реальних об'єктів мають фрактальну структуру: хмари, гори, дерева, турбулентні потоки. Навіть кровоносна система людини - теж просторовий фрактал. Математик фірми IBM Бенуа Мандельброт (Benoit B. Mandelbrot) одержав математичне визначення фракталу. "Множина Мандельброта" задається простою формулою: Z = Z * Z + C Тут змінна Z і константа С - комплексні числа, які відображаються точками на комплексній площині. Суть алгоритму полягає в послідовному розрахунку значень Z, щораз підставляючи у формулу значення Z, отримане на попередньому кроці. Початкове значення Z відповідає координатам точки, що розраховується. Класичний вид безлічі виходить при С=0. У цьому випадку формула зводиться до нескінченного ряду (((Z·Z+Z)·Z+Z)·Z+Z)·Z+... Даний ряд може сходитися (тобто модуль Zk залишається кінцевим при будь-якій кількості кроків k) або ж летить у нескінченність з різною швидкістю, що залежить тільки від координат крапки Z°. Графічне відображення безлічі Мандельброта полягає в обчисленні ряду для кожної точки (кількість ітерацій залежить від обраного масштабу, але, як правило, більш 1000 кроків не потрібно) і виборі кольору, виходячи зі значення лічильника ітерацій, з яким був покинутий цикл. Існують "M-Set" і "F-Set" методи розрахунку. Варіант формули, коли є присутня комплексна константа C, має назву "Julie-set", і формула записується як ((((Z+C)²+C)²+C)²+C)²+... Різниця, на перший погляд, невелика, але вид фракталу цілком міняється! Слід зазначити, що формули фракталів множиною Мандельброта далеко не обмежуються. Наприклад, якщо квадрат замінити третім, четвертім і так далі степенями, то можна одержати нові фрактали, нітрохи не схожі на оригінального Мандельброта.

Множина Мандельброта

Цей фрактал названий на честь Бенуа Мандельброта (Benoit Mandelbrot), що вперше описав його. Його формула дуже проста: Z = Z * Z + C

Усі розрахунки виконуються на комплексній площині. Нормальна множина формується при C рівному координатам точки, що розраховується. Якщо задати C рівним деякій константі, однакової для кожної точки, то можна одержати Julie-вид множини, зовнішній вигляд якого буде мінятися в залежності від значення C і ніколи не буде схожий на нормальну множину. Наприклад, при C={0.4, 0.5} фрактал має наступний вигляд:

Фрактальні орбіти

Орбіти розраховуються для однієї конкретної точки (це значення називається Seed), а на графічну площину виводяться точки, одержані після кожної ітерації. Природно, кількість ітерацій, необхідних для одержання достатньої для відображення картини, приблизно на два-три порядків більше, ніж у випадку розрахунку звичайної фрактальної множини. Як приклад можна привести один з варіантів формули Hopalong:

NewX = y + Sin(|A*x - C|)

NewY = y - Sin(|B*x - C|)

При цьому, на початку розрахунку значення X і Y рівні Seed. Вид фрактальної орбіти залежить від значення Seed і міняється в дуже широких межах, обумовлених видом формули. Для Seed = {0.5, 0.5} орбіта має вигляд:

F-Set і M-Set методи розрахунку.

Розрахунок фракталу полягає в покроковому обчисленні полінома й аналізі комплексної величини Zk, одержуваної на кожнім кроці. M-Set метод припускає перевірку на збіжність ряду, і аналіз швидкості, з яким Z летить у нескінченність. Як правило, модуль комплексного числа Z порівнюють з деякою величиною, називаної BailOut, і умовою виходу з циклу є: |Z|>BailOut У випадку F-Set методу передбачається збіжність ряду і перевіряється не швидкість, з якою Z летить у нескінченність, а навпаки - швидкість зменшення Z до нуля. Умовою виходу з циклу є: |Z|<10E-n. Допускається об’єднання методів F-Set і M-Set.