6. Постановка задачі інтерполяції. Геометрична ілюстрація інтерполяції функції. Параболічна інтерполяція. Інтерполяційні многочлени та оцінка похибки інтерполяційних многочленів.

Задача інтерполяції формулюється наст чином:

В n+1 різних точок x₀,x₁,…,x_n, задамо значення ф-ції f(x) y₀=f(x₀), y₁=f(x₁),…,y_n=f(x_n) і треба побудувати многочлен степеня n ,який задовольняє умову:(і=)(1)

Коефіцієнти невідомі. Використ. умову (1) для знаходження коефіцієнтівскладемо с-му зn+1 лінійних алгебраїчних р-нь.

Це є визначник Вандермонда, який не дорівнює 0, оск. всі х_і є різні, але практично така інтерполяція многочленна є малоефективна.

Інтерполяц. многочлен Лагранжа.

Побудуєм мног-н L_n(x) степеня n, який задов. умови:L_n(x_i)=y_i(і=) (2)

Інтерпол. многочлен L_n(x) побудуємо у вигляді:

L_n(x)=а₀(х-х₁)(х-х₂)*…*(х-х_n)+а₁(х-х₀)(х-х₂)*…*(х-х_n)+…+а_k(х-х₀)(х-х₁)*… (3)

..*(х-х_k-1)(х-х_k+1)*…*(х-х_n)+…+а_n(х-х₀)(х-х₁)*…*(х-х_n-1)

де a_k коефіцієнти невідомі.

Кожен доданок виразу (3) є многочлен степеня n при чому при кожному з коеф. a_k відсутній множник (x-x_k) .Визначимо a_k корист. умовами (2). Підставимо у (3) x=x₀: L_n(x₀)=y₀=а₀(х₀-х₁)(х₀-х₂)*…*(х₀-х_n)

а₀= y₀/(х₀-х₁)(х₀-х₂)*…*(х₀-х_n)

В загальному одержимо: L_n(x_i)=y_i= а_i(х_i-х₀)(х_i-х₁)*...*(х_i-х_i-1)(х_i-х_i+1)*…*(х_i-х_n)

Звідси визначимо а_і: а_i= y_i/(х_i-х₀)(х_i-х₁)*...*(х_i-х_i-1)(х_i-х_i+1)*…*(х_i-х_n)

Підставимо знайд. коеф. у ф-лу (3) і одержимо:

(4)

Позначимо многочлен

(5)

Знайдемо похідну від :

(х-х₁)(х-х₂)*…*(х-х_n)+ (х-х₀)(х-х₂)*…*(х-х_n)+…

(х_i-х₀)(х_i-х₁)*...*(х_i-х_i-1)(х_i-х_i+1)*…*(х_i-х_n)

Многочлен L_n(x) визн. за ф-лою (4) наз інтерполяційним многочленом Лагранжа, а наближену ф-лу наз. ф-лою Лагранжа.

Вираз наз. коеф. Лагранжа.

Т:Якщо вузли інтерполяції x_i(і=) різні і належать відрізку , а ф-ціяf(x) диф. n+1 раз на відрізку , тодля якої викон. нерівність. Якщо, то оцінка залишкового члена запишеться у такому вигляді:

Інтерполяційний многочлен Ньютона

Нехай ф-цію f(x) задано таблично: x₀ x₁ …. x_n

y₀ y₁ …. y_n

причому вузли інтерпол. є рівновіддалені, тобто x₀, x₀+h, x₀+2h,…, x₀+nh .Потрібно побудувати інтерпол. многочлен P_n(x) так, щоб викон. умови:

y₀=P_n(x₀), y₁=P_n(x₁),…,y_n=P_n(x_n) (1)

Будемо шукати многочлен у вигляді:

(2)

де невідомі коефіцієнти.

Остання ф-ла наз. інтерполюванням вперед, ці ф-ли викор. тоді коли аргумент знаходиться на початку таблиці.

Коли з-ня аргументу знаходиться в кінці таблиці, то першу інтерпол. ф-лу не вигідно використовувати

Ф-ла наз. інтерполяц. назад.

7. Постановка задачі чисельного диференціювання. Чисельне диференц. На основі інтерполяційних формул Лагранжа та Ньютона. Оцінка похибки цих інтерполяційних формул.

Нехай ф-ю f(x) задано таблично на інтервалі [a,b]. Представимо її у вигляді деякого інтерполяційного многочленна:f(x)=Pn(x)+Rn(x) (1) деRn(x) – залишковий член. Нехай ф-яPn(x) - к-раз неперервно продифиренц. ф-я. Тоді ми можемо к-раз продиф. рівність (1):

f′(x)=P_n′(x)+R_n′(x)

f′(x)=P_n″(x)+R_n″(x)

………………

f^k(x)=P_n^k(x)+R_n^k(x)

За чисельне диференц. вибирають формули:

f′(x)=P_n′(x)

f′(x)=P_n″(х)

…………..

f^k(x)=P_n^k(x)

При чому залишковий член r_i(x) (i=1…k) не завжди є малою величиною

r_i(x)=f^і(x)-P_n^і(x).

Нехай ф-я fзадана на відрізку [a,b]. Табличноy_i=f(x_i), деx_iрівновіддалені.

Запишемо для ф-ї fпершу інтерполяційну формулу Ньютона:

f(x)=P_n(x)=y₀+t∆y₀++…+

t=;

Шукаємо похідну:

f′(x)=

f′(x)= P_n′(x)=

f″(x)= P_n″(x)=

У чисельному диференц. 1-шу інтерполяційну ф. Ньютона викор. якщо шукають похідні f′(x) іf″(x) у т.х, які знаходяться між х₀і х₁

r1(x)=- залишковий член перш. пох.f′(x) обмеженої в т х0

Нехай ф-я f(x) задана на [a;b], у вузлахx_i(рівновіддалені ) своїми значеннямиy_i. Представимо ф-юf(x) у вигляді інтерполяційного многочлена Лагранжа:f(x)=Ln(x) =Якщо вузли рівновіддалені, то зробимо замінуt=

Тоді інтерполяц. многочлен Лагранжа має вигляд:

P(x)=Ln(x₀+ht)=

Продиференціюємо: f′(x)=Ln'(x)=

f^(k)(x)=L_n^(k)(x)=

Залишковий член шукаємо аналогічно, як і для інтерполяційного многочленна Ньютона.