5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел.

z1

M1

y

Пусть z₁=a₁ + ib₁ и z₂=a₂ + ib₂.Им соответствуют векторы с координатами (a₁,b₁) и (a₂,b₂). Тогда числу z₁+z₂=a₁ + a₂ + i(b₁ + b₂) будет соответствовать вектор с координатами (a₁ + a₂,b₁+b₂).Таким образом, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z₁ и z₂, надо сложить векторы, отвечающие комплексным числам z₁ и z₂.

z2-z1

M

z2

-z1

M

M2

x

Аналогично, разности z₁- z ₂ комплексных чисел z₁ и z₂ соответствует разность векторов, Соответствующих числам z₁ и z₂.Модуль двух комплексных чисел z₁ и z₂ по определению модуля есть длина вектора z₁- z ₂.Построим вектор, как сумму двух векторов z₂ и (- z₁). Получим вектор , равный вектору.Следовательно,есть длина вектора,то есть модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

b

z=a+ ib

y

6. Аргументы комплексного числа. Аргументом комплексного числа z= a + ibназывается величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z; величина угла считается положительной если отсчет производится против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.

Для обозначения того факта, что число j является аргументом числа z= a+ ib, пишут j=argz или j=arg (a+ib).

j-2p

a

j

x

Для числа z=0 аргумент не определяется. Поэтому во всех последующих рассуждениях, связанных с понятием аргумента будем считать, что.Заметим, что заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно; число z=0 – единственное число, которое определяется заданием только его модуля.

С другой стороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегда определён единственным образом в отличие от аргумента, который всегда определяется неоднозначно: если j - некоторый аргумент числа z,то углы j+2pk, тоже являются аргументами числа z.

Из определения тригонометрических функций следует, что если j=arg (a+ib),то имеет место следующая система

или (5)

Пример 4. Сколько решений имеет система уравнений

а)б)в)

Решение:

1

i

а) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 3 и 1

найдём модуль1-i: .

Заметим, что никакая точка большей окружности не

приближена к меньшей на расстояние, равное ,

откуда и следует, что система корней не имеет.

i

б) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 2 и 1.

1

При сдвиге на 3i только одной точки меньшей окружности мы получаем что эта точка попадает на

другую окружность.

Эта точка и будет решением системы.

i

корень

в) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 1.

корни

Заметим, что при сдвиге только двух точек на единицу в влево мы попадаем на ту же самую окружность, а значит эти два числа и будут решениями системы.

	1

7.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a +ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим другие формы записи комплексных чисел. Пусть r- модуль, а j - какой-либо из аргументов комплексного числа z= a+ ib, то есть r = ,j=arg (a+ib). Тогда из формулы (5) следует, что, и, значит,

.

Запись комплексного числа в виде называется еётригонометрической формой.

Для того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a+ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.

Пример 5. Какое множество точек комплексной плоскости задаётся условием

а)

б)

в)

а)

г)

д)

1

i

е)

1

i

Решение:

б)

а) Мы должны построить точки, которые при сдвигании вниз на i и вправо на 1 поучались бы равноудалёнными от начала координат, откуда

чтобы построить множество точек, удовлетворяющих данному условию, мы должны:

1) построить множество точек, равноудалённых от начала координат на 2

2) сдвинуть его на 1 влево и на i вверх

в)

б) Мы должны построить точки, которые располагались бы ближе к точке -iчем к 2i ,аэти точки указаны на рисунке.

в) Данное уравнение равносильно уравнению

То есть эти числа будут удалены на расстояние

ip/3 i

г) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,

p/3

на 1 вправо. При этом при выполнении второго условия, у на получится угол, показанный на рисунке.

1

д) Преобразуем первое условие:

д)

То есть это будут точки удалённые от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число 0. Учитывая второе и третье условие, получим:

е) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,

на 1 вправо. При этом, учитывая другие условия, получим

искомое множество точек.

Пример 6. Будет ли тригонометрической формой числа следующие выражения

а)

б)

в)

Решение:

Тригонометрической формой записи числа только будет выражение а), так как только оно удовлетворяет определению тригонометрической формы записи числа(и при всех тригонометрических функциях углы должны быть равны, а также если подсчитать значение выражения, то оно должно быть равно).

8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть

,

Тогда

Таким образом, модуль и произведение двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения.

Пусть,тогда

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частого.

9. Возведение в степень и извлечение корня. Формула (6) для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай сомножителей. Используя метод математической индукции, нетрудно показать, что если-аргументы чиселсоответственно, то

Отсюда, как частный случай, получается формула, дающая правило возведение комплексного числа в целую положительную степень:

(8)

Таким образом, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (8) называется формулой Муавра.

Число называется корнем степени,из числаw (обозначается ,если

Если w=0, то при любом n уравнение имеет одно и только одно решениеz=0.

Пусть теперь .Представимzиw в тригонометрической форме:

, .

Тогда уравнение примет вид

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2p. Следовательно,

или

.

Таким образом, все решения уравнения даются формулой

В самом деле, придавая числу kв формуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, …, (n-1), мы не получаем других комплексных чисел.

Формула (9) называется второй формулой Муавра.

Таким образом, если , то существует ровноn корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле(9).

В частности, если =2, то уравнениеимеет два корня:

то есть эти корни симметричны относительно начала координат.

Также из формулы (9) нетрудно получить, что еслито точки, изображающие все корни уравнения, являются вершинами правильногоn-угольника, вписанного в окружность с центром в точке z=0 и радиусом .

Из сказанного выше следует, что символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим подразумевается. Например, используя запись, следует позаботиться о том, чтобы было ясно, понимается ли под этим пара комплексных чиселiи-i,или одно, и, если одно, то какое именно.

Пример 7. Запишите в тригонометрической форме:

а) ,

б),

в).

Решение:

а)

б) Так как , то, откуда.

Так как , то, откуда

в) Так как , то, откуда.

10.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения

(10)

с действительными коэффициентамиa, b, c. Тамбыло показано, что если дискриминант уравнения (10) неотрицателен, то решения такого уравнения даются формулой

где(11)

В случае, если , говорилось, что, уравнение не имеет решений.

Для вывода формулы (11) использовался приём выделения квадрата трёхчлена с последующим разложением левой части на линейные множители:

откуда и получалась формула (11). Очевидно, что все эти выкладки остаются справедливыми и в том случае, когда a, b, cявляются комплексными числами, а корни уравнения отыскиваются во множестве комплексных чисел.

Таким образом, во множестве комплексных чисел уравнение

всегда разрешимо. Если уравнение имеет один корень;, уравнение имеет два корня. Во всех случаях для корней квадратного уравнения справедлива формула

где подподразумеваются все значения корня.

Пример 8. Решить уравнение

а)

б)

Решение:

а) Данное уравнение является квадратным.

По формуле корней квадратного уравнения имеем:

Для определения всех значений положим

Тогда

и, следовательно, x и y удовлетворяют системе

причём x и yдействительные числа. Решим систему:

Заметим, что x=0 решением системы не является.

При получим:

Решим уравнение (*): x⁴+15x²-16=0 –квадратное уравнение относительно x², откуда

Вернёмся к системе:

Поэтому

б) Данное уравнение является квадратным.

По формуле корней квадратного уравнения имеем:

Для определения всех значений положим

Тогда

и, следовательно, x и y удовлетворяют системе

причём x и yдействительные числа. Решим систему:

Заметим, что x=0 решением системы не является.

При получим:

Решим уравнение (*): x⁴-16x²-225=0 –квадратное уравнение относительно x², откуда

Вернёмся к системе:

Поэтому

Пример 9. Решить уравнение

а)

б)

Решение:

а) Пусть , тогда уравнение примет вид:

, откуда по теореме, обратной теореме Виета получим

Возвращаясь к z, получим

1) . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим:

1) . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

2) . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

б)Преобразуем уравнение:

Заметим, что . Используя вторую формулу Муавра, получим:

Пример10. Решите уравнение:

Решение:

Решим уравнение как квадратное относительно z²: D=

Пусть z=a+ib, тогда , а уравнение имеет вид

Пусть , тогда, откуда

Пусть , тогда, а значит получим, ачит получим, что

Ответ: