4. Показатели корреляции можно рассчитать по формулам:

[pic] ; [pic]

Для того, чтобы найти [pic] заполним таблицу:

Таблица 5

|№ п/п |lnX |[pic] |[pic] |

|1 |6,66 |1,73 |2,98 |

|2 |6,15 |1,22 |1,48 |

|3 |5,88 |0,94 |0,89 |

|4 |5,77 |0,84 |0,70 |

|5 |5,63 |0,69 |0,48 |

|6 |4,57 |-0,37 |0,13 |

|7 |4,40 |-0,53 |0,28 |

|8 |4,10 |-0,84 |0,70 |

|9 |3,84 |-1,10 |1,21 |

|10 |2,35 |-2,58 |6,68 |

|Сумма |49,35 | |15,54 |

|Ср. знач. |4,94 | | |

Получаем: [pic]

Тогда: [pic]

Коэффициенты детерминации равны:

[pic];[pic]

Коэффициент корреляции для линейной модели равен 0,751, это говорит о том, что связь между величинами Х и Y сильная, направление связи – прямое. Коэффициент детерминации, равный 0,564 показывает, что вариация величины Y на 56,4% обусловлена вариацией величины Х.

Показатель корреляции для линейно-логарифмической модели равен 0,677, это говорит о том, что связь между величинами lnХ и Y сильная, направление связи – прямое. Коэффициент детерминации, равный 0,458 показывает, что вариация величины Y на 45,8% обусловлена вариацией величины lnХ.

5. Оценим надежность уравнений, через F-критерий Фишера:

Для линейной модели:

[pic]

Для линейно-логарифмической модели:

[pic]

Сравниваем фактические значения критерия Фишера с табличным, который для степеней свободы 1 и 8 и уровне значимости 0,5 равен: Fтабл = 5,32. Для обоих регрессий табличное значение ниже фактических, следовательно оба уравнения регрессии являются значимыми.

6. Наиболее высокие значения коэффициентов корреляции и детерминации и F-критерия Фишера принадлежат линейной модели, следовательно, эта модель наиболее хорошо отображает зависимость между величинами. Дальнейшее исследование продолжаем, используя модель [pic].

7. Рассчитываем теоретические значения и ошибку аппроксимации, для этого заполним таблицу:

Таблица 6

|№ п/п |X |Y |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|1 |782,9 |50 |44,02 |5,98 |35,74 |0,38 |

|2 |469,5 |13 |27,35 |-14,35 |205,78 |0,91 |

|3 |356,5 |7,6 |21,33 |-13,73 |188,57 |0,88 |

|4 |321,9 |18,9 |19,49 |-0,59 |0,35 |0,04 |

|5 |278,6 |43,4 |17,19 |26,21 |687,13 |1,67 |

|6 |96,4 |4,3 |7,49 |-3,19 |10,19 |0,20 |

|7 |81,7 |10,5 |6,71 |3,79 |14,37 |0,24 |

|8 |60,3 |5,1 |5,57 |-0,47 |0,22 |0,03 |

|9 |46,4 |2,1 |4,83 |-2,73 |7,46 |0,17 |

|10 |10,5 |2 |2,92 |-0,92 |0,85 |0,06 |

|Сумма | |156,9 | | |1150,65 |4,59 |

|Ср. знач. | |15,69 | | | | |

Скорректированная ошибка средней аппроксимации находиться по формуле:

[pic]

Значение ошибки аппроксимации довольно высоко, что говорит о низком качестве построенной линейной модели.

Построим теоретическую линию регрессии:

[pic]

8. Рассчитаем прогнозное значение [pic], для значения X = 1,037[pic]:

[pic]

[pic]

9. Интегральная ошибка прогноза находиться по формуле:

[pic]

где [pic]

[pic]

Получаем: [pic]

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза составит:

[pic]

где tтабл – табличное значение t-критерия Стьюдента, которое для уровня значимости 0,05 и степеней свободы 10 – 1 – 1 = 8 равно tтабл = 2,31.

Получаем: [pic]

Верхняя и нижняя границы доверительного интервала равны:

[pic]

[pic], но так как Y > 0, то [pic] = 0.

Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит:

[pic], следовательно, точность сделанного прогноза чрезвычайно низкая.

Задача 2

Проводиться анализ значений социально-экономических показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год:

Y – инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.

X1 – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.

X2 – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.

Х3 – инвестиции 1999 года в основной капитал, млрд. руб.

Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.

При обработке исходных данных получены следующие данные:

А) – линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратичных отклонений:

N = 9

Таблица 7

| |Y |X1 |X2 |X3 |

|Y |1 |0,7813 |0,8897 |0,9114 |

|X1 |0,7813 |1 |0,7372 |0,7959 |

|X2 |0,8897 |0,7372 |1 |0,6998 |

|X3 |0,9114 |0,7959 |0,6998 |1 |

|Средняя |8,867 |0,4652 |121,2 |4,992 |

|σ |5,1976 |0,1287 |48,19 |3,183 |

Б) – коэффициентов частной корреляции:

Таблица 8

| |Y |X1 |X2 |X3 |

|Y |1 |-0,283 |0,8617 |0,8729 |

|X1 |-0,283 |1 |0,4466 |0,5185 |

|X2 |0,8617 |0,4466 |1 |-0,6838 |

|X3 |0,8729 |0,5185 |-0,6838 |1 |

1. Предоставленные в условии задачи значения линейных коэффициентов корреляции показывают, что величина Y тесно связана со всеми тремя факторами(0,7813, 0,8897 и 0,9114), однако и сами факторы тесно связаны между собой (0,7372, 0,7959 и 0,6998). Из этого можно сделать вывод, что как минимум один их факторов является лишним.

Рассматривая коэффициенты частной корреляции мы видим, что при отсутствии влияния факторов Х2 и Х3 зависимость между величинами Y и X1 снижается (rYX1*X2X3 = -0,283). Отсюда делаем предположение, что фактор X1 можно удалить из исследования, так как его парная корреляция с фактором Y обусловлена его корреляцией с факторами Х2 и Х3. Проверим это предположение, вычислив серию частных коэффициентов корреляции с факторами Y, Х2 и Х3:

[pic]

[pic]

[pic]

Из проведенных расчетов мы видим, что между факторы Х2 и Х3 действительно тесно связаны с фактором Y, а между собой хоть и взаимодействуют, но не столь тесно, к тому же связь между ними обратная, а не прямая.

Рассчитаем аналогичные показатели по паре факторов Х1 и Х3:

[pic]

[pic]

[pic]

Из проведенных расчетов мы видим, что связь между величинами Y и X1 действительно слабая, и включение в модель этого параметра ошибочно. Таким образом в качестве информативных факторов модели будем использовать факторы Х2 и Х3.

2. Уравнение регрессии в стандартизированном виде:

[pic]

[pic]-коэффициенты рассчитываются по формулам:

[pic]

[pic]

Таким образом, уравнение имеет вид: [pic]

При увеличении величины Х2 на [pic] величина Y увеличиться на 0,0168[pic], а при увеличении величины Х3 на [pic] величина Y увеличиться на 0,1004[pic]. Таким образом получаем, что величина Х3 гораздо сильнее, чем Х2 влияет на величину Y.

3. Рассчитаем коэффициенты уравнения регрессии:

[pic]

[pic]

[pic]

Таким образом, уравнение регрессии принимает вид:

[pic]

С увеличением величины Х2 на единицу величина Y увеличивается на 0,0018, а при увеличении величины Х3 на единицу величина Y увеличивается на 0,1630.

Рассчитаем коэффициенты эластичности:

[pic]; [pic]

При увеличении величины Х2 на 1% величина Y увеличивается на 0,025%, а при увеличении величины Х3 на 1% величина Y увеличивается на 0,092%, что еще раз говорит о там, что влияние величины Х3 на величину Y значительно больше.

4. Множественный коэффициент корреляции можно определить по формуле:

[pic]

Множественный коэффициент детерминации равен: [pic]

Коэффициент множественной корреляции имеет невысокое значение, что говорит о том, что зависимость между величиной Y и величинами Х2 и Х3 средней силы. Вариация величины Y лишь на 24% обусловлена вариацией величин Х2 и Х3.

Определим статистическую значимость найденного уравнения регрессии:

[pic]

Сравним полученное значение с табличным, которое для степеней значимости 6 и 2 и доверительной вероятности 0,05 равно Fтабл = 5,14.

Фактическое значение меньше табличного, следовательно уравнение регрессии нельзя считать существенным.

5. Рассчитаем прогнозное значение величины Y при значения факторов, равных 107,3% от их средних значений:

[pic]

6. Сформулируем основные выводы:

При решении данной задачи, из приведенных 3-х факторов были отобраны два (Х2 и Х3) наиболее существенного влияющие на величину Y. При отборе использовались частные коэффициенты корреляции, которые показывают влияние факторного признака на результативный, исключая влияние других факторных признаков.

Далее были найдены стандартизированное и обычное уравнение регрессии, найдены [pic]-коэффициенты и коэффициенты эластичности. В результате был сделан вывод, что из выбранных факторов изменение фактора Х3 намного сильнее влияет на изменение величины Y, чем изменение фактора Х2.

Далее, оценив существенность найденного уравнения регрессии было выявлено, что в совокупности факторы Х2 и Х3 довольно слабо влияют на фактор Y. По всей видимости это связано с высокой коррелированностью этих факторов между собой.

Можно сделать вывод, что для построения более существенного уравнения регрессии необходимо включать в модель какие-либо еще факторы.

Задача 3

Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Центрального федерального округа:

Y1 – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

Y2 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;

Х1 – инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

Х2 – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.;

Х3 – среднемесячная начисленная заработная плата 1-го занятого в экономике, тыс. руб.

[pic]

При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратичных отклонений (N = 15):

Таблица 9

| |Y1 |X1 |X2 | |Y2 |Y1 |X3 |

|Y1 |1 |0,7823 |0,8011 |Y2 |1 |0,853 |0,7584 |

|X1 |0,7823 |1 |0,642 |Y1 |0,853 |1 |0,5009 |

|X2 |0,8011 |0,642 |1 |X3 |0,7584 |0,5009 |1 |

|Средняя |115,83 |5,6 |0,57 |Средняя |23,77 |115,83 |1,553 |

|σ |30,0303 |2,4666 |0,116 |σ |7,2743 |30,0303 |0,2201 |

1. В соответствии с выдвинутыми гипотезами составляем систему уравнений:

[pic]

2. Системы уравнений, в которых переменные первоначально формируются как результаты, а в дальнейшем выступают в качестве факторов, называются рекурсивными. Именно с подобной системой уравнений имеем дело в данной задаче.

3. Выполним расчет [pic]-коэффициентов и построим уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе.

Для уравнения №1:

[pic]

[pic]

Стандартизированное уравнение регрессии имеет вид: [pic]

В этом уравнение фактор Х1 немого более сильно влияет на величину Y1, чем фактор Х2.

Для уравнения №2

[pic]

[pic]

Стандартизированное уравнение регрессии имеет вид: [pic]

В этом уравнение фактор Y1 немого более сильно влияет на величину Y2, чем фактор Х3.

Рассчитываем параметры уравнений регрессии:

Для уравнения №1:

[pic]

[pic]

[pic]

Таким образом, уравнение регрессии принимает вид:

[pic]

Для уравнения №2:

[pic]

[pic]

[pic]

Таким образом, уравнение регрессии принимает вид:

[pic]

Представим результат построения уравнений в виде рекурсивной системы:

[pic]

Рассчитываем коэффициенты множественной корреляции и детерминации:

Для уравнений №1:

[pic]

Множественный коэффициент детерминации равен: [pic]

Для уравнений №2:

[pic]

Множественный коэффициент детерминации равен: [pic]

Оцениваем статистическую значимость уравнений при помощи F-критерия Фишера:

Для уравнения №1: [pic]

Для уравнения №2: [pic]

Сравниваем полученные значения с табличным значением F-критерия Фишера, которое для степеней свободы 12 и 2 и доверительной вероятности 0,05 равно Fтабл = 3,88.

Для обоих уравнений расчетное значения критерия выше табличного, следовательно оба уравнения можно считать существенными.

4. Сформулируем основные выводы: Для уравнения №1: уравнение является существенным, выбранные факторы на 94,2% определяют изменение результативного фактора. Фактор Х1 влияет на величину Y1 чуть больше, чем фактор Х2. Для уравнения №2: уравнение является существенным, выбранные факторы на 87.4% определяют изменение результативного фактора. Фактор Y1 влияет на величину Y2 чуть больше, чем фактор Х3.

Задача 4

Предлагается изучить взаимосвязь социально-экономических показателей региона.

Y1 – расходы населения региона на личное потребление, млрд. руб.;

Y2 – стоимость продукции и услуг текущего года, млрд. руб.;

Y3 – фонд отплаты труда занятых в экономике региона, млрд. руб.;

Х1 – удельные вес занятых в экономике среди всего населения региона, %

Х2 – среднегодовая стоимость основных производственных фондов в экономике региона, млрд. руб.

Х3 – инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб.

При этом сформулированы следующие исходные рабочие гипотезы:

[pic]