Тема 5. УПРУГИЕ ВОЛНЫ

5.1.Распространение волн в упругой среде

5.2.Уравнения плоской и сферической волн

5.3.Фазовая скорость

5.4.Принцип суперпозиции. Групповая скорость

5.5.Стоячие волны

5.6.Волновое уравнение

5.7.Эффект Доплера

5.1. Распространение волн в упругой среде

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, увлекаемые частицы будут отставать по фазе от тех частиц, которые их увлекают.

При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды. Среда рассматривается как сплошная, т.е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая уп-

ругими свойствами.

Итак, колеблющееся тело, помещенное в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице передается лишь состояние колебательно-

го движения и энергия. Поэтому основным свойством всех волн, неза-

висимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения) и продольными (сгущение и разрежение частиц среды происходит в направлении распространения).

Граница, отделяющая колеблющиеся частицы от частиц еще не начавших колебаться, называется фронтом волны.

В однородной среде направление распространения перпендикулярно фронту волны (рис. 5.1).

47

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции ξ в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть только от х и t: ξ = ξ(x,t) . Пусть

колебание точек, лежащих в плоскости x = 0 , имеет вид (при начальной фазе φ = 0 )

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей про-

извольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время τ = υx .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0 , т.е.

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, ξ есть смещение любой из точек с координатой x

в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания A = const . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

ξ= Acosω t + x .

υ

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

49

где kr – волновой вектор, nr – нормаль к волновой поверхности.

Уравнение сферической волны

Вслучае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна,

аисточник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна ωt (т.е. φ0 = 0 ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, бу-

не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону 1r .

Следовательно, уравнение сферической волны:

где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице. Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при r → 0 , ам-

плитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний

A 1r , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

5.3. Фазовая скорость

Фазовая скорость – это скорость распространения фазы волны.

Зафиксируем какое-либо значение фазы волны и проследим, с какой скоростью фаза будет перемещаться вдоль оси x.

Это уравнение дает связь между t и тем значением x, где зафиксирован-

ное значение фазы будет в данный момент времени. Следовательно, ddxt

– это есть скорость перемещения данной фазы. Т.к. ω = const , поэтому

50

t − υx = const . Возьмем производную по времени от обеих частей равен-

ства: 1 − 1υ ddxt = 0 . Отсюда получим выражение для фазовой скорости:

странения волны. Т.е. υ в уравнении волны есть фазовая скорость.

Для синусоидальной волны скорость переноса энергии равна фазовой скорости. Но синусоидальная волна не несет никакой информации, любой сигнал – это модулированная волна, т.е. несинусоидальная (негармоническая).

При решении некоторых задач получается, что фазовая скорость больше скорости света. Здесь нет парадокса, так как скорость переме-

щения фазы – это не скорость передачи (распространения) энергии,

которая не может распространяться со скоростью большей, чем скорость света с.

5.4. Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если свойства среды не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (на-

ложения волн) при распространении в такой среде нескольких волн, каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений частиц.

Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность «горбов» и «впадин».

Фазовая скорость этой волны

υ= ωk или υ = λν.

Спомощью такой волны нельзя передавать сигнал, так как в любой точке волны все «горбы» одинаковы. Сигнал должен отличаться, быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет описываться уравнением (5.4.1).

Сигнал (импульс) можно представить (согласно теореме Фурье) в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключенными в некотором интервале ω. Суперпозиция волн, мало отличающихся друг

51

от друга по частоте, называется волновым пакетом или группой волн (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Выражение для группы волн:

Этот волновой пакет может быть суммой двух волн с мало отличающимися частотами (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Там, где фазы совпадают, наблюдается усиление амплитуды, где нет – гашение (результат интерференции).

Чтобы суперпозицию можно было считать группой волн, необходимо условие ω << ω0 .

Дисперсия – это зависимость фазовой скорости в среде от частоты.

В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью υ. Очевидно, что в данном случае скорость перемещения пакета совпадает со скоростью υ. В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью, пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается. Если дисперсия невелика, то расплывание не происходит слишком быстро и пакету можно приписать скорость u (рис. 5.4).

52

Результирующая амплитуда получается в результате сложения,

следовательно будут максимумы и минимумы амплитуды. Максимум амплитуды будет определяться условием

2ωt − 2k xmax = ±mπ,

где m = 0, 1, 2, …, xmax – координата максимума амплитуды.

Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн. Решив это уравнение относительно xmax, по-

рость. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды. В пределе выражение для групповой скорости:

числа волн. Выражению для групповой скорости можно придать другой вид. Т.к ω = υk , следовательно

Из этой формулы следует, что в диспергирующей среде, в зависи-

мости от знака ddλυ , групповая скорость может быть больше или меньше фазовой.

54

В отсутствие дисперсии ddλυ = 0 и u = υ. Максимум интенсивно-

сти приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.

Понятие групповой скорости применимо только при условии, что

поглощение энергии волны в среде невелико. При значительном затуха-

нии волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Это случай из области аномальной дисперсии (рассмотрим позже).

5.5. Стоячие волны

Если в среде распространяется несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельно-

сти. Волны накладываются друг на друга, не возмущая (не искажая друг друга). Это и есть принцип суперпозиции волн.

Если две волны, приходящие в какую-либо точку пространства, обладают постоянной разностью фаз, такие волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление ин-

терференции.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении от преград.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях (начальная фаза φ = 0 ):

Сложим уравнения и преобразуем по формуле суммы косинусов (5.4.3):

Т.к. cos(−α) = cos α, то можно записать:

ξ = 2Acos ωt cos kx = 2Acos kx cos ωt .

Учитывая, что k = 2λπ , получим уравнение стоячей волны:

ξ= 2Acos 2π x cosωt . (5.5.2)

λ

Ввыражении для фазы не входит координата, поэтому можно записать:

55

Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей

и отраженных волн. На границе, где происходит отражение волны, получается пучность, если среда, от которой происходит отражение, менее плотная (рис. 5.5, а), и узел – если более плотная (рис. 5.5, б).

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же

стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.

56

5.6. Волновое уравнение

Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Найдем общий вид волнового уравнения. Для этого продифференцируем дважды уравнение плоской волны по времени t и всем координатам:

ξ = Acos(ωt −kr) ,

Учтем, что υ = ω/ k , а окончательно получим для волнового уравнения

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (5.6.4), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной

57

5.7. Эффект Доплера

Известно, что при приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося электропоезда его звуковой сигнал кажется более высоким, а при удалении от наблюдателя – более низким, чем сигнал того же электропоезда, но неподвижного.

Доплер Кристиан (1803–1853), австрийский физик и астроном, член Венской АН (1848 г.). Учился в Зальцбурге и Вене. С 1847 г. профессор Горной академии в Хемнице, с 1850 г. профессор Политехнического института и университета в Вене. Основные труды посвящены аберрации света, теории микроскопа и оптического дальномера, теории цветов и др. В 1842 г. теоретически обосновал зависимость частоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем, от скорости и направления движения наблюдателя относительно источника колебаний.

Эффектом Доплера называют изменение частоты волн, регистрируемых приемником, которое происходит вследствие движения источника этих волн и приемника.

Источник, двигаясь к приемнику, как бы сжимает пружину – вол-

ну (рис. 5.6).

Рис. 5.6

Данный эффект наблюдается при распространении звуковых волн (акустический эффект) и электромагнитных волн (оптический эффект).

Рассмотрим несколько случаев проявления акустического эф-

фекта Доплера.

Пусть приемник звуковых волн П в газообразной (или жидкой) среде неподвижен относительно нее, а источник И удаляется от прием-

ника со скоростью υrи вдоль соединяющей их прямой (рис. 5.7, а). Источник смещается в среде за время, равное периоду T0 его ко-

лебаний, на расстояние υиT0 = υи , где ν0 – частота колебаний источни-

ν0

ка.

58

В самом общем случае, когда и приемник и источник звуковых волн движутся относительно среды с произвольным скоростями

(рис. 5.7, д),

Эту формулу можно также представить в виде (если υи << υ)

где υ′ = υИ − υП – скорость источника волны относительно приемника, а

θ – угол между векторамиr υ' и R . Величина υ'cosθ, равная проекции

υr' на направление R , называется лучевой скоростью источника.

Оптический эффект Доплера

При движении источника и приемника электромагнитных волн относительно друг друга также наблюдается эффект Доплера, т.е. изменение частоты волны, регистрируемой приемником. В отличие от рассмотренного нами эффекта Доплера в акустике, закономерности этого явления для электромагнитных волн можно установить только на основе специальной теории относительности.

Соотношение, описывающее эффект Доплера для электромагнит-

ных волн в вакууме, с учетом преобразований Лоренца, имеет вид:

При небольших скоростях движения источника волн относительно приемника, релятивистская формула эффекта Доплера (5.7.7) совпадает с классической формулой (5.7.2).

Если источник движется относительно приемника вдоль соединяющей их прямой, то наблюдается продольный эффект Доплера.

Кроме того, из релятивистской теории эффекта Доплера следует существование поперечного эффекта Доплера, наблюдающегося при θ = π/ 2 и θ = 3π/ 2, т.е. в тех случаях, когда источник движется перпен-

60

дикулярно линии наблюдения (например источник движется по окружности, приемник в центре):

Поперечный эффект Доплера необъясним в классической физике. Он представляет чисто релятивистский эффект.

Как видно из формулы (5.7.10), поперечный эффект пропорциона-

лен отношению υ2 / c2 , следовательно он значительно слабее продольного, который пропорционален υ/ c (5.7.9).

В общем случае вектор относительной скорости можно разложить на составляющие: одна обеспечивает продольный эффект, другая – поперечный.

Существование поперечного эффекта Доплера следует непосредственно из замедления времени в движущихся системах отсчета.

Впервые экспериментальная проверка существования эффекта Доплера и правильности релятивистской формулы (5.7.7) была осуществлена американскими физиками Г. Айвсом и Д. Стилуэллом в 30-х гг. Они с помощью спектрографа исследовали излучение атомов водорода,

разогнанных до скоростей 2 106 м/с. В 1938 г. результаты были опубликованы. Резюме: поперечный эффект Доплера наблюдался в полном соответствии с релятивистскими преобразованиями частоты (спектр излучения атомов оказался сдвинут в низкочастотную область); вывод о замедлении времени в движущихся инерциальных системах отсчета подтвержден.

Эффект Доплера нашел широкое применение в науке и технике. Особенно большую роль это явление играет в астрофизике. На основании доплеровского смещения линий поглощения в спектрах звезд и ту-

Американский астроном Э. Хаббл обнаружил в 1929 г. явление, по-

лучившее название космологического красного смещения и состоящее в том, что линии в спектрах излучения внегалактических объектов смещены в сторону меньших частот (больших длин волн). Оказалось, что

мая частота) совершенно одинаково по всем частотам. Космологическое красное смещение есть не что иное, как эффект Доплера. Оно свидетельствует о том, что Метагалактика расширяется, так что внегалактические объекты удаляются от нашей Галактики.

61

Под Метагалактикой понимают совокупность всех звездных систем. В современные телескопы можно наблюдать часть Метагалактики,

оптический радиус которой равен R =1,12 1023 км. Существование это-

го явления было теоретически предсказано еще в 1922 г. советским ученым А.А. Фридманом на основе развития общей теории относительности.

Хаббл установил закон, согласно которому относительное крас-

ное смещение z галактик растет пропорционально расстоянию r до них.

Закон Хаббла можно записать в виде

υcosθ ≈ cz = Hr , (5.7.12)

где H – постоянная Хаббла. По самым современным оценкам, проведенным в 2003 г., H = 73,2 км/(с Мпк) . (1 пк (парсек) – расстояние, ко-

торое свет проходит в вакууме за 3,27 лет (1пк≈3,09 1016 м)).

В 1990 г. на борту шаттла «Дискавери» был выведен на орбиту космический телескоп имени Хаббла (рис. 5.8).

Рис. 5.8 Рис. 5.9

Астрономы давно мечтали о телескопе, который работал бы в видимом диапазоне, но находился за пределами земной атмосферы, сильно мешающей наблюдениям. «Хаббл» не только не обманул возлагавшихся на него надежд, но даже превзошел практически все ожидания. Он фантастически расширил «поле зрения» человечества, заглянув в немыслимые глубины Вселенной. За время своей работы космический телескоп передал на землю 700 тыс. великолепных фотографий (рис. 5.9). Он, в частности, помог астрономам определить точный возраст нашей Вселенной – 13,7 млрд. лет; помог подтвердить существование во Вселенной странной, но оказывающей огромное влияние, формы энергии – темной энергии; доказал существование сверхмассивных черных дыр; удивительно четко заснял падение кометы на Юпитер; показал, что процесс формирования планетных систем является широко рас-

62

пространенным в нашей Галактике; обнаружил небольшие протогалактики, зарегистрировав излучение, испущенное ими, когда возраст Вселенной составлял менее 1 млрд. лет.

На эффекте Доплера основаны радиолокационные лазерные методы измерения скоростей различных объектов на Земле (например автомобиля, самолета и др.). Лазерная анемометрия является незаменимым методом изучения потока жидкости или газа. Хаотическое тепловое движение атомов светящегося тела также вызывает уширение линий в его спектре, которое возрастает с увеличением скорости теплового движения, т.е. с повышением температуры газа. Это явление можно использовать для определения температуры раскаленных газов.

Контрольные вопросы

1.Как объяснить распространение колебаний в упругой среде?

2.Что такое поперечная волна, продольная? Когда возникают?

3.Что такое волновой фронт? волновая поверхность?

4.Что называется длиной волны, скоростью и периодом?

5.Что такое волновое число? фазовая и групповая скорости?

6.В чем заключается физический смысл вектора Умова?

7.Какая волна является бегущей, плоской, сферической?

8.При каких условиях возникает интерференция волн?

9.Всегда ли сохраняется энергия при интерференции двух волн?

10.Когда на струне образуется стоячая волна, колебания падающей и отраженной волн в узлах взаимно гасятся. Означает ли это, что исчезает энергия?

11.Две когерентные волны, распространяющиеся навстречу друг другу, отличаются амплитудами. Образуют ли они стоячую волну?

12.Чем стоячая волна отличается от бегущей?

13.Какое расстояние между двумя соседними узлами стоячей волны? двумя соседними пучностями? соседними пучностью и узлом?

14.Что такое звуковые волны? Звуковые волны в воздухе продольные или поперечные? Почему?

15.Может ли звук распространяться в вакууме?

16.От чего зависят громкость, высота и тембр звука?

17.Что такое эффект Доплера? Чему будет равна частота колебаний, воспринимаемых покоящимся приемником, если источник колебаний от него удаляется?

18.Какое влияние оказывает скорость ветра на эффект Доплера?

19.Как определить частоту звука, воспринимаемую приемником, если источник звука и приемник движутся?

63

Тема 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ (ЭМВ)

6.1.Генерация ЭМВ

6.2.Дифференциальное уравнение ЭМВ

6.3.Экспериментальное исследование ЭМВ

6.4.Энергия и импульс электромагнитного поля

6.1. Генерация ЭМВ

Возможность существования электромагнитных волн предсказывал еще Майкл Фарадей в 1832 г., обобщая известные к тому времени данные по изучению электричества и магнетизма. Теоретически обосновал это предположение Дж. Максвелл.

Максвелл Джеймс Клерк (1831–1879) – английский физик,

член Эдинбургского (1855) и Лондонского (1861) королевских обществ, с 1871 г. – первый профессор экспериментальной физики в Кембридже. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статистике, оптике, механике, теории упругости. Самым большим научным достижением Максвелла является созданная им в 1860–1865 гг. теория электромагнитного поля, которую он сформулировал в виде системы нескольких уравнений (уравне-

ния Максвелла), выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений. В своей теории Максвелл дал определение электромагнитного поля и предсказал новый эффект: существование в свободном пространстве электромагнитного излучения (электромагнитных волн) и его распространение в пространстве со скоростью света. Теоретически вычислил давление света.

Из теории Максвелла следует, что изменяющееся электрическое поле порождает в пустом пространстве магнитное поле. Изменяющееся магнитное поле приводит, в свою очередь, к появлению изменяющегося электрического поля и т.д. Анализируя свои уравнения, Максвелл пришел к заключению, что конечным итогом подобной связи изменяющихся полей будет появление волны, которая содержит электрическое и магнитное поля и способна распространяться в пустом пространстве.

Впервые электромагнитные волны были обнаружены в 1887 г. Генрихом Герцем, который в качестве источника электромагнитных колебаний использовал колебательный контур.

Герц Генрих Рудольф (1857–1894) – немецкий физик.

Окончил Берлинский университет (1880) и был ассистентом у Г. Гельмгольца. В 1885–89 гг. – профессор Высшей технической школы в Карлсруэ.

Основные работы относятся к электродинамике, одним из основоположников которой он является, и механике. В 1888 г.

64

экспериментально доказал существование электромагнитных волн, распространяющихся в свободном пространстве, предсказанных теорией Максвелла. В 1887 г. наблюдал внешний фотоэффект. Исследования Герца посвящены также катодным лучам, теории удара упругих тел и т.п.

В колебательном контуре, образованном конденсатором С и катушкой L (рис. 6.1, а), электрическое поле сосредоточено в зазоре между обкладками, а магнитное – внутри катушки.

В окружающем конденсатор и катушку пространстве поля практически равны нулю, поэтому заметного излучения электромагнитных волн не происходит. Для того чтобы контур излучал волны, необходимо увеличить расстояние между обкладками конденсатора и между витками катушки. В пределе мы придем к прибору, названному впоследствии вибратором Герца. В процессе видоизменений, изображенных на рис. 6.1, б, в, сильно уменьшается емкость и индуктивность контура, что также выгодно, так как приводит к увеличению частоты колебаний, а следовательно к уменьшению длины волны. С волнами меньшей длины легче экспериментировать. В своих исследованиях Герц дос-

тиг частот порядка 108 Гц и получил волны, длина которых составляла от 10 до 0,6 м.

Вибратор Герца имел несколько модификаций. В одной из них (рис. 6.2) он состоял из двух одинаковых металлических стержней V – V, разделенных регулируемым искровым промежутком R и соединенных через дроссели D с индуктором − источником высокого напряжения.

Когда напряжение на искровом промежутке достигало пробойного значения, он пробивался электрической искрой, замыкающей обе половины вибратора. В вибраторе возникали затухающие электрические колебания высокой частоты. Максимальной интенсивностью обладали колебания с пучностью тока посередине вибратора и с длиной волны, равной примерно удвоенному расстоянию между концами вибратора (полуволновой вибратор). Уходу колебаний в индуктор препятствовали дроссели, соединяющие элементы вибратора с индуктором.

65

• В-третьих, электрическое и магнитное поля находятся в фазе, т.е. они достигают максимума и обращаются в нуль в одних и тех же точках.

Если ЭДС генератора изменяется по синусоидальному закону, то и напряженность электрического поля и магнитного поля будет изменяться по синусоидальному закону. Строго говоря, это справедливо в точках, достаточно удаленных от источника (в волновой зоне, когда r > λ).

Электромагнитные волны представляют собой поперечные волны и аналогичны другим типам волн. Однако в ЭМВ происходят колебания полей, а не вещества, как в случае волн на воде или в натянутом шнуре.

Таким образом, ЭВМ генерируются колеблющимися, т.е. движущимися с ускорением, электрическими зарядами. Справедливо и такое утверждение: движущийся с ускорением электрический заряд

испускает электромагнитные волны.

6.2. Дифференциальные уравнения ЭМВ

Одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является существование ЭМВ. Можно показать, что для однородной и изотопной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное полеr , из

уравнений Максвелла следует, что векторы напряженности E и H

электромагнитного поля удовлетворяют волновым уравнениям типа

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (6.2.1), описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действитель-

магнитная постоянные; ε и μ – соответственно, электрическая и магнит-

μ0 =1,256637061 10−6 Гн м−1 , находим с = 2,99792458 108 м с−1 – ско-

рость распространения электромагнитного поля в вакууме, которая равна скорости света. Причем электромагнитное поле распространя-

67

ется в виде периодических изменений векторов E и H , которые взаимно перпендикулярны и перпендикулярны вектору скорости υ распространения электромагнитного поля.

Полученные Максвеллом результаты показали, что в вакууме электромагнитное возмущение распространяется со скоростью света и

представляет поперечные колебания. В веществе скорость распростра-

нения электромагнитных возмущений меньше в n = εμ раз. Все это

позволило Максвеллу сделать фундаментальный вывод об электромагнитной природе света.

Скорость распространения электромагнитных волн в среде зависит от ее электрической и магнитной проницаемости. Величину n = με на-

зывают абсолютным показателем преломления. С учетом последнего имеем:

Следовательно, показатель преломления есть физическая величина,

равная отношению скорости электромагнитных волн в вакууме к их скорости в средеr .r

Векторы E , H и υr образуют правовинтовую систему (рис. 6.3). Из уравнений Максвеллаr следует также, что в электромагнитной

волне векторы E и H всегда колеблются в одинаковых фазах, причем мгновенные значения Е и H в любой точке связаны соотношением

ε0εE = μμ0 H .

Следовательно E и H одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д.

От уравнений (6.2.1) можно перейти к уравнениям

лены вдоль взаимно перпендикулярных осей y и z.

Уравнениям (6.2.3) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (ЭМВ одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

68

вое число, φ – начальная фаза колебаний в точках с координатой x = 0 . В уравнениях (6.2.3) начальные фазы одинаковы, т.е. колебания электрического и магнитного векторов в ЭМВ происходят в одинаковых фазах.

r:

•векторы H , E и υ взаимно перпендикулярны, так как k и υ направлены одинаково;

•электромагнитная волна является поперечной;

•электрическая и магнитная составляющие распространяются в одном направлении; r

•векторы H и E колеблются в одинаковых фазах.

6.3. Экспериментальное исследование ЭМВ

Как было сказано выше, экспериментальная проверка вывода теории Максвелла о существовании ЭМВ была осуществлена Герцем. Для получения волн Герц применял разные модификации изобретенного им вибратора, который возбуждал ряд цугов слабозатухающих волн (рис

6.2).

Ввибраторе во время колебаний устанавливалась стоячая волна тока и напряжения. Сила тока I была максимальна в середине вибратора (пучность тока) и обращалась в нуль на его концах (узлы тока). Напряжение U в середине вибратора имело узел на концах пучности. Таким образом, вибратор аналогичен струне, колеблющейся с основной (т.е. с наименьшей) частотой. Длина λ излучаемых вибратором волн приблизительно в 2 раза превышала длину вибратора (полуволновой вибратор).

Исследования излучаемой волны Герц осуществлял также при помощи полуволнового вибратора с небольшим искровым промежутком посредине. При размещении такого вибратора параллельно вектору напряженности электрического поля волны в нем возбуждались колебания тока и напряжения. Так как длина вибратора была равна λ/ 2, вследствие резонанса колебания в нем достигали такой интенсивности, что вызывали проскакивание в искровом промежутке небольших искр.

Входе своих исследований Герц обнаружил, что если расстояние между вибратором и приемником (резонатором) меньше одного метра, то поле вибратора в этой области соответствует излучению поля диполем и убывает обратно пропорционально кубу расстояния (эту зону назвали ближней зоной, здесь r ≤ λ). Однако на расстояниях более трех

метров поле убывает значительно медленнее (это волновая зона, где r ≥ λ) и неодинаково в различных направлениях. В направлении оси вибратора поле практически исчезает на расстоянии четырех метров, а в

69

направлении, перпендикулярном к оси вибратора, достигает расстояния двенадцати метров и более (рис. 6.4).

Рис. 6.4

Для объяснения этих результатов Герц теоретически, на основе электродинамики Максвелла, анализирует излучение вибратора. Здесь он впервые получает результат, что волновое поле на дальних расстояниях убывает очень медленно − обратно пропорционально расстояниюr r ,

а само поле распространяется со скоростью света. Векторы Η и E максимальны в направлениях, перпендикулярных направлению колебаний заряда в вибраторе; вдоль направления колебаний заряда – над и под антенной – поля обращаются в нуль. В результате своих исследований Герц дополнил теорию Максвелла теорией электромагнитного излучения, впервые получил электромагнитные волны, предсказанные Максвеллом, и доказал их тождество с волнами света.

Для исследования свойств электромагнитных волн Герц использовал металлические параболические зеркала и большую призму из твердой смолы − асфальта с основанием 1,2 м и высотой 1,5 м с преломляющим углом 30° (рис. 6.5 а).

Рис. 6.5

В своих опытах Герц установил полную аналогию электромагнитных и световых волн. Было показано, что для электромагнитных волн справедлив закон отражения и преломления. Отражающими поверхностями для электромагнитных волн служили металлические листы, а закон Снелла был проверен на призмах из диэлектриков. Кроме того,

70

опыты Герца подтвердили соотношение n = εμ , следующее из теории

Максвелла.

Поместив излучающий вибратор в фокусе вогнутого зеркала, Герц получил направленную плоскую волну. На ее пути он расположил плоское зеркало и получил таким образом стоячую волну. Измерив расстояние между узлами и пучностями волны, Герц нашел длину волны λ. Произведение λ на частоту колебаний вибратора ν дало скорость ЭМВ, которая оказалась близкой к скорости света с. Располагая на пути волн решетку из параллельных друг другу медных проволок, Герц обнаружил, что при вращении решетки вокруг луча интенсивность волн, прошедших сквозь решетку, сильно изменяется. Когда проволоки проходи-

ли перпендикулярно к вектору E , волна проникала сквозь решеткуr без помех. При расположении проволоки параллельно вектору E волна

сквозь решетку не проходила. Таким образом, была подтверждена поперечность ЭМВ.

Отметим также, что в ходе исследований свойств электромагнитных волн Герц сделал еще одно важнейшее открытие − фотоэлектрический эффект (вырывание электрических зарядов с поверхности металлов под действием света).

Опыты Герца были продолжены П. Н. Лебедевым, который в 1894 г. получил ЭМВ длиной 4–6 мм и исследовал прохождение их в кристаллах. При этом было обнаружено двойное преломление волн.

Дальнейшее развитие методики эксперимента позволило в 1923 г. А.А. Глаголевой-Аркадьевой сконструировать массовый излучатель, в котором короткие ЭМВ, возбужденные колебаниями электрических зарядов в атомах и молекулах, генерировались с помощью искр между металлическими опилками, взвешенными в масле. Так были получены волны длиной λ от 50 мм до 80 мкм. Тем самым было доказано существование волн, перекрывающих интервал между радиоволнами и инфракрасным излучением. Позднее были получены волны в очень широком диапазоне частот.

Усовершенствовав вибратор Герца и применив свой приемник, профессор Петербургского электротехнического института А.С. Попов в 1896 г. впервые в мире наладил опытную радиотелеграфную связь и осуществил с помощью электромагнитных волн передачу сообщения на расстояние около 250 м (первыми переданы слова «Генрих Герц»). Тем самым было положено основание радиотехнике. В 1899 г. Попов довел расстояние беспроволочной передачи сигналов до 50 км.

В 1901 г. была осуществлена радиотелеграфная связь через Атлантический океан. Изобретение электронных ламп (1904−1907) и приме-

71

нение их для генерирования незатухающих колебаний (1913 г.) сделали возможным развитие радиотелеграфии и радиовещания. В 20−30-х гг. весь мир покрылся сетью мощных радиопередающих станций. Человечество вступило в новую эру коммуникационных отношений. Эффективность и невиданная до сих пор скорость прогресса в этой области были обеспечены фундаментальной теоретической базой, созданной Дж. Максвеллом и развитой в исследованиях Г. Герца, А.С. Попова, Г. Маркони и многих других ученых и инженеров.

ЭМВ отличаются друг от друга по способам генерации и регистрации, а также по своим свойствам. По этим признакам их делят на несколько видов: радиоволны, световые волны, рентгеновcкое и γ-излучение. Шкала ЭМВ изображена на рис. 6.6.

Рис. 6.6

Рис. 6.7

Распространение длинных коротких и ультракоротких волн изображено на рис. 6.7.

Наименование диапазонов частот электромагнитных волн приведено в табл. 6.1.

72

Следует отметить, что границы между различными типами ЭМВ в значительной степени условны, т.к. при пограничных значениях ν и λ эти волны мало чем отличаются друг от друга.

6.4. Энергия и импульс электромагнитного поля

Мы уже много раз показывали, что электромагнитное поле обладает энергией. Значит, распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии (подобно тому, как распространение упругих волн в веществе связано с переносом механической энергии). Сама возможность обнаружения ЭМВ указывает на то, что они переносят энергию.

Для характеристики переносимой волной энергии русским ученым Н.А. Умовым были введены понятия о скорости и направлении движения энергии, о потоке энергии. Спустя десять лет после этого, в 1884 г., английский ученый Джон Пойнтинг описал процесс переноса энергии с

помощью вектора плотностиr потока энергии.

Введем вектор dw = HdB + EdD − приращение плотности электромагнитной энергии, где сама величина w определяется интегралом:

w = ∫(HdB +EdD) .

73

Объемная плотность энергии w электромагнитной волны складывается из объемных плотностей wэ и wм электрического и магнитного по-

лей:

w = wэ + wм = ε0ε2Е2 + μ0μ2Н2 .

Учитывая, что ε0εE = μ0μH , получим, что плотность энергии

электрического и магнитного полей в каждый момент времени одинакова, т.е. wэ = wм. Поэтому

Умножив плотность энергии w на скорость υ распространения вол-

ны в среде, получим модуль плотности потока энергии – поток энер-

гии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распро-

направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора [ Ε, Η] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH (рис. 6.8).

Рис. 6.8

Вектор плотности потока электромагнитной энергии называ-

Вектор S направлен в сторону распространения электромаг-

нитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

74

В сферической электромагнитной волне, излучаемой ускоренно двигающимися зарядами, векторы H направлены по параллелям, векторы Er − по меридианам, а поток энергии S − по нормали nr (рис. 6.9).

Рис. 6.9

Векторы Умова–Пойнтинга зависят от пространства и времени, так как от них зависят модули векторов напряженности электрического и магнитного полей. Поэтому часто пользуются параметром, называемым интенсивностью – модуль среднего значения вектора Умова– Пойнтинга:

Зависимость интенсивности излучения от направления называют диаграммой направленности. Такая диаграмма для линейного излучателя показана на рис. 6.10.

Рис. 6.10

Как доказал Герц, диполь сильнее всего излучает в направлении перпендикулярном по отношению к собственному направлению.

Ускоренно двигающиеся заряды излучают электромагнитную энер-

гию в окружающее пространство. Вектор S направлен вдоль радиуса r и убывает обратно пропорционально r2. Излучение максимально в на-

75

∂2 pr

правлении, перпендикулярном вектору ∂t2 , и отсутствует вдоль этого

вектора. Поэтому диаграмма направленности диполя имеет вид двух симметричных лепестков, как показано на рис. 6.10.

Давление света

Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами (эти явления подтверждены опытами Герца), то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны должны оказывать на тела давление. Давление ЭМВ объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и подвергаются со стороны магнитного поля действию силы. Однако, значение этого давления ничтожно мало.

Давление света и электромагнитный импульс настолько малы, что непосредственное их измерение затруднительно. Так, зеркало, расположенное на расстоянии 1 м от источника света в миллион свечей (кандел), испытывает давление 10−7 Н/м2. Давление излучения Солнца на поверхность Земли равно 4,3 10−6 Н/м2, а общее давление излучения Солнца на Землю равно 6 108 Н, что в 1013 раз меньше силы притяжения Солнца.

Световое давление было впервые обнаружено и измерено в 1899 г. в Москве русским ученым П.Н. Лебедевым (1866−1912). Его результаты, как и более точные измерения последующих исследователей, согласуются с теорией в пределах ошибок опыта − до 2 %.

Рис. 6.11

На рис. 6.11 изображен прибор, с помощью которого было измерено давление света, – радиометр. Свет, отраженный посеребренной по-

76

верхностью каждой лопасти 2, 3, передает вдвое больший импульс по сравнению со светом, поглощенным зачерненной поверхностью 1, 4. Вследствие этого лопасти начинают вращаться по часовой стрелке.

Давление света можно рассчитать по формуле:

P = J 1+ K , c

где J – интенсивность света, K – коэффициент отражения.

Опыты Лебедева имели огромное значение для утверждения выводов теории Максвелла о том, что свет представляет собой ЭМВ.

Давление света играет существенную роль в двух противоположных по масштабу областях явлений.

Так, например, гравитационное притяжение верхних слоев звезд к центру в значительной мере уравновешивается силой давления светового потока, идущего от центра звезды наружу. В атомных процессах существенной является отдача, испытываемая возбужденным атомом при излучении им света в силу малости массы атома. Световое давление

может создавать ускорение атомов до 105 g , где g – ускорение свобод-

ного падения.

Впервые гипотеза о световом давлении была высказана в 1619 г. немецким ученым И. Кеплером (1571−1630) для объяснения отклонения хвостов комет, пролетающих вблизи Солнца (рис. 6.12).

Рис. 6.12

Возможными областями физического применения светового давления могут служить процессы разделения смеси изотопов газов, ускорение микрочастиц и создание условий для протекания управляемой термоядерной реакции.

Электромагнитная масса и импульс

Существование давления ЭМВ приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс.

77

Выражая импульс как p = mc (поле в вакууме распространяется со скоростью света с), получим

Это соотношение между массой и энергией ЭМП является универсальным законом природы, справедливым для любых тел независимо от их внутреннего строения.

Импульс электромагнитного поля, связанного с движущейся частицей, – электромагнитный импульс – оказался пропорциональным скорости частицы υ, что имеет место и в выражении для обычного импульса mυ, где m – инертная масса заряженной частицы. Поэтому коэффициент пропорциональности в полученном выражении для импульса pr называют электромагнитной массой:

где е – заряд движущейся частицы, а – ее радиус.

И даже если тело не обладает никакой иной массой, оказывается, что между импульсом и скоростью заряженной частицы существует соотношение:

Это соотношение как бы раскрывает происхождение массы – это электродинамический эффект. Движение заряженной частицы сопровождается возникновением магнитного поля. Магнитное поле сообщает телу дополнительную инертность – при ускорении затрачивается работа на создание магнитного поля, при торможении –работа против затормаживающих сил индукционного происхождения. По отношению к движущемуся заряду электромагнитное поле является средой, неотделимой от заряда.

В общем случае можно записать, что полный импульс равен сумме механического и электромагнитного импульсов; возможно, что другие поля вносят и иные вклады в полную массу частицы, но, определенно, в полной массе есть электромагнитная часть:

m = mмех + mэл , p = mυ.

Если учесть релятивистские эффекты сокращения длины и преобразования электрических и магнитных полей, то для электромагнитного импульса получается также релятивистски инвариантная формула:

78

Таким же образом изменяется релятивистский механический импульс.

Контрольные вопросы

1.Что такое электромагнитная волна? Какова скорость ее распространения?

2.Что может служить источником электромагнитных волн?

3.Каковы физические процессы, приводящие к возможности существования электромагнитных волн?

4.Почему Герц в своих опытах использовал открытый колебательный контур?

5.Как можно представить себе шкалу электромагнитных волн, каковы источники излучения разных видов волн?

6.Какие характеристики поля периодически изменяются в бегущей электромагнитной волне?

электромагнитного поля. Проанализируйте его решения и объясните физический смысл.

9. Как определяется фазовая скорость электромагнитных волн?

10. Как определить объемную плотность энергии в электромагнитной волне?

11. В чем заключается физический смысл вектора Умова– Пойнтинга? Чему он равен?

12. Почему важна задача об излучении диполя?

13. В чем заключается физический смысл диаграммы направленности излучения диполя?

14. Напишите условия для поля электромагнитной волны на границе раздела двух электрических сред.

79